电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 6 VI_s = 2 AV₂ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 4 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 5 VV₂ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 Ω

V_R1 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AV₂ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 21。

R₁ = 10 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.7 V 时，电容未充电。求 t = 1 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 2.7 VR = 4.7 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±13 Vt = 1 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.375 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1.5 AR = 47 ΩL = 150 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9.48 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 9.48 VT = 200 msC = 22 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6346 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2.933 Ω

R_eq = R₁ + 2.933 = 4 + 2.933 = 6.933 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6.933 = 0.8654 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.8654·4 = 2.538 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.538/4 = 0.6346 A

答案

I_R2 = 0.6346 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 29.95 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 3 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 1.8 Ω

R₃ + 1.8 = 9.8 Ω

R₂ ∥ 9.8 = 4.949 Ω

R_eq = R₁ + 4.949 = 25 + 4.949 = 29.95 Ω

答案

R_eq = 29.95 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = 0.629 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/10 + (V_A − 9)/20 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.25·V_A − 0.1·V_B = 0.45

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/10 = (−2.5)

−0.1·V_A + 0.35·V_B = −2.5

求解

Δ = (0.25)(0.35) − (−0.1)(−0.1) = 0.0775

V_A = Δ₁/Δ = −0.0925/0.0775 = −1.194 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.58/0.0775 = −7.484 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (−1.194 − −7.484)/10 = 0.629 A

4.节点分析

答案: V_B = 7.744 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V, V₂ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 6)/2 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.6667·V_A − 0.08333·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 9)/10 = 2

−0.08333·V_A + 0.4333·V_B = 2.9

求解

Δ = (0.6667)(0.4333) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.2819

V_A = Δ₁/Δ = 1.542/0.2819 = 5.468 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.183/0.2819 = 7.744 V

答案

V_B = 7.744 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.125 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 9

24·I₁ − 20·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−18)

−20·I₁ + 26·I₂ = −18

求解

Δ = (24)(26) − (−20)(−20) = 224

I₁ = Δ₁/Δ = −126/224 = −0.5625 A

I₂ = Δ₂/Δ = −252/224 = −1.125 A

答案

I₂ = −1.125 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R1 = 0.07524 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 5

23·I₁ − 20·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 6(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 38·I₂ − 6·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 6(I₃ − I₂) = (−15)

−6·I₂ + 11·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4386

I₁ = Δ₁/Δ = 110/4386 = 0.02508 A

I₂ = Δ₂/Δ = −970/4386 = −0.2212 A

I₃ = Δ₃/Δ = −6510/4386 = −1.484 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.02508 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0.02508·3 = 0.07524 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 0.8397 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+5 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω

V_A = 6·2.679/(2+2.679) = 3.435 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.435·5/25 = 0.687 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (3.435 − 0)/3 = 1.145 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 21.2 = 4.046 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−4)·4.046 = −16.18 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −16.18·1.2/21.2 = −0.916 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (−0.916 − 0)/3 = −0.3053 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 1.145 + (−0.3053) = 0.8397 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = 26.48 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 18 = 8.182 Ω

V_A = 24·8.182/(5+8.182) = 14.9 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 14.9·6/18 = 4.966 V

V_R2′ = V_A − V_B = 14.9 − 4.966 = 9.931 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.75 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.75 = 15.75 Ω

R_eq = R₄ ∥ 15.75 = 4.345 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−2.5)·4.345 = −10.86 V

V_A = V_B·3.75/15.75 = −2.586 V

V_R2″ = V_A − V_B = −2.586 − −10.86 = 8.276 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−15)·15.75/21.75 = −10.86 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −10.86·3.75/15.75 = −2.586 V

V_R2‴ = V_A − V_B = −2.586 − −10.86 = 8.276 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = 9.931 + 8.276 + 8.276 = 26.48 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 7.5 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·3/(3+3) = 1.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.5 + 6 = 7.5 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 2.3 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·30/(15+30) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 15 = 25 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + 1.5·10 = 35 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 35 + 1.5·15 = 57.5 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 57.5/25 = 2.3 A

11.运放电路

答案: R_f = 200 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·10 = 200 kΩ

答案

R_f = 200 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −2.611 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 4.7 kΩ · 0.22 µF = 1.034 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.7/1.034 = −2.611 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.7·1/1.034 = −2.611 V

答案

V_out = −2.611 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.424 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms

求解时间

0.375 = 1.5·e^−t/τ → t = τ·ln(1.5/0.375)

t = 3.191·ln(4) = 4.424 ms

答案

t = 4.424 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 9.094 kΩ

所需的时间常数

9.48 = 15·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 9.48))

τ = 200/0.9997 = 200.1 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 200.1/22 = 9.094 kΩ

答案

R = 9.094 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

同相放大器的增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数

求解时间

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th