电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩV₂ = 18 VR₂ = 5 ΩV₃ = 30 VR₃ = 4 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VI_s = 5 AV₂ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 2 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 10 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

P_R3 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 30 VI_s = 4 AV₂ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 36 VI_s = 6 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.4 VV₂ = 1.2 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4.7 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 12.8 V？求 t。

V_s = 5 VR = 6.8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7634 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 2 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1.789 Ω

R_eq = R₁ + 1.789 = 10 + 1.789 = 11.79 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11.79 = 0.7634 A

答案

I_R1 = 0.7634 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.8688 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 6.97 Ω

R₃ + 6.97 = 36.97 Ω

R₂ ∥ 36.97 = 2.775 Ω

R_eq = R₁ + 2.775 = 10 + 2.775 = 12.77 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12.77 = 0.9393 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.9393·10 = 2.607 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.607/3 = 0.8688 A

答案

I_R2 = 0.8688 A

3.节点分析

答案: I₂ = −6.261 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 30)/8 + (V_A − (−18))/5 + (V_A − 30)/4 = 0

求 V_A

V_A = (30/8 + (−18)/5 + 30/4) / (1/8 + 1/5 + 1/4) = 7.65/0.575 = 13.3 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = ((−18) − V_A)/R₂ = ((−18) − 13.3)/5 = −6.261 A

答案

I₂ = −6.261 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R2 = 1.83 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V, V₂ = 5 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 9)/2 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.75·V_A − 0.1667·V_B = 4.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/6 + (V_B − 5)/4 = (−5)

−0.1667·V_A + 0.4667·V_B = −3.75

求解

Δ = (0.75)(0.4667) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.3222

V_A = Δ₁/Δ = 1.475/0.3222 = 4.578 V

V_B = Δ₂/Δ = −2.063/0.3222 = −6.401 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (4.578 − −6.401)/6 = 1.83 A

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.7143 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 15

20·I₁ − 15·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−12)

−15·I₁ + 27·I₂ = −12

求解

Δ = (20)(27) − (−15)(−15) = 315

I₁ = Δ₁/Δ = 225/315 = 0.7143 A

I₂ = Δ₂/Δ = −15/315 = −0.04762 A

答案

I₁ = 0.7143 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = 0.7175 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 30

45·I₁ − 20·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 27·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−6)

−2·I₂ + 27·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 21825

I₁ = Δ₁/Δ = 21510/21825 = 0.9856 A

I₂ = Δ₂/Δ = 15660/21825 = 0.7175 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3690/21825 = −0.1691 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.7175 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R3 = 1.35 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+5 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·20/(5+20) = 4 Ω

V_A = 10·4/(12+4) = 2.5 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.5·5/20 = 0.625 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.5 − 0.625)/15 = 0.125 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 18.53 = 3.938 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·3.938 = 7.875 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7.875·3.529/18.53 = 1.5 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (1.5 − 7.875)/15 = −0.425 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ = 0.125 + (−0.425) = −0.3 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = (−0.3)²·15 = 1.35 W

答案

P_R3 = 1.35 W

把各单独情况下的功率相加会得到 2.944 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V_R2 = −6.061 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 3 ∥ 12 = 2.4 Ω

V_A = 30·2.4/(2+2.4) = 16.36 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 16.36·8/12 = 10.91 V

V_R2′ = V_A − V_B = 16.36 − 10.91 = 5.455 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.2 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.2 = 5.2 Ω

R_eq = R₄ ∥ 5.2 = 3.152 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·3.152 = 12.61 V

V_A = V_B·1.2/5.2 = 2.909 V

V_R2″ = V_A − V_B = 2.909 − 12.61 = −9.697 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 6·5.2/13.2 = 2.364 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 2.364·1.2/5.2 = 0.5455 V

V_R2‴ = V_A − V_B = 0.5455 − 2.364 = −1.818 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = 5.455 + (−9.697) + (−1.818) = −6.061 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 13.08 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 10 = 13.08 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 191.2 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 5 = 13.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20.57 + 6·8.571 = 72 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 72 + 6·5 = 102 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 102/(13.57 + 15) = 3.57 A

P_L = I_L²·R_L = 3.57²·15 = 191.2 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 4.464 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/22 = 3.136

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/3.136 = 4.464 V

答案

V_in,max = 4.464 V

12.运放电路

答案: V_out = 1.658 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.2·10/(2 + 10) = 1 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(4.7/10)·(−0.4) + (1 + 4.7/10)·1 = 0.188 + 1.47 = 1.658 V

答案

V_out = 1.658 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.7534 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −0.4681·ln(0.2) = 0.7534 ms

答案

t = 0.7534 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 34.74 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 5 + (18 − 5)·e^−t/τ

求解时间

12.8 = 5 + (13)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12.8 − 5)/(18 − 5) = 0.6

t = τ·ln((18 − 5)/(12.8 − 5)) = 68·ln(1.667) = 34.74 ms

答案

t = 34.74 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th