电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩV₂ = 6 VR₂ = 15 ΩV₃ = 24 VR₃ = 8 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.2·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ωg = 0.2 A/V

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₅ 两端按图示极性的电压 V_R5。

V₁ = 10 VV₂ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 Ω

V_R5 = V

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 8 V、I_s = 2 mA 时，I = 10.2 mA；V_s = 8 V、I_s = 4 mA 时，I = 10.8 mA。求 V_s = 20 V、I_s = 8 mA 时的负载电流 I。

8 V, 2 mA → 10.2 mA8 V, 4 mA → 10.8 mAV_s = 20 V, I_s = 8 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VI_s = 2 AV₂ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 8 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.1 VR₁ = 2 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.7 VV₂ = 0.8 VR₁ = 1 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求开关闭合后电路的时间常数 τ。

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 33 µF

τ = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。求 t = 60 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 4.7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 Vt = 60 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.8 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_eq = R₁ + 2.667 = 4 + 2.667 = 6.667 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/6.667 = 1.8 A

答案

I_R1 = 1.8 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 15.8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 5.217 Ω

R₃ + 5.217 = 11.22 Ω

R₂ ∥ 11.22 = 5.798 Ω

R_eq = R₁ + 5.798 = 10 + 5.798 = 15.8 Ω

答案

R_eq = 15.8 Ω

3.节点分析

答案: I₂ = −0.5526 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 9)/8 + (V_A − 6)/15 + (V_A − 24)/8 = 0

求 V_A

V_A = (9/8 + 6/15 + 24/8) / (1/8 + 1/15 + 1/8) = 4.525/0.3167 = 14.29 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = (6 − V_A)/R₂ = (6 − 14.29)/15 = −0.5526 A

答案

I₂ = −0.5526 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_B = 18.49 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.1733·V_A − 0.1·V_B = 1

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.2·V_A

−0.3·V_A + 0.2667·V_B = 0

求解

Δ = (0.1733)(0.2667) − (−0.1)(−0.3) = 0.01622

V_A = Δ₁/Δ = 0.2667/0.01622 = 16.44 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.3/0.01622 = 18.49 V

答案

V_B = 18.49 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 4.393 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 30

8·I₁ − 4·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−6)

−4·I₁ + 9·I₂ = −6

求解

Δ = (8)(9) − (−4)(−4) = 56

I₁ = Δ₁/Δ = 246/56 = 4.393 A

I₂ = Δ₂/Δ = 72/56 = 1.286 A

答案

I₁ = 4.393 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R5 = 15.84 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 10

16·I₁ − 10·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 48·I₂ − 30·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−36)

−30·I₂ + 45·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 15660

I₁ = Δ₁/Δ = 1800/15660 = 0.1149 A

I₂ = Δ₂/Δ = −12780/15660 = −0.8161 A

I₃ = Δ₃/Δ = −21048/15660 = −1.344 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.528 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 0.528·30 = 15.84 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 26.4 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 2·k₂ = 10.2

8·k₁ + 4·k₂ = 10.8

求常数

Δ = (8)(4) − (2)(8) = 16

k₁ = Δ₁/Δ = 19.2/16 = 1.2

k₂ = Δ₂/Δ = 4.8/16 = 0.3

k₁ = 1.2 mA/V, k₂ = 0.3

预测新的电流

I = 1.2·20 + 0.3·8 = 26.4 mA

答案

I = 26.4 mA

8.叠加定理

答案: I_R2 = −1.176 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 16 = 5.333 Ω

V_A = 30·5.333/(6+5.333) = 14.12 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 14.12·8/16 = 7.059 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (14.12 − 7.059)/8 = 0.8824 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.429 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.429 = 11.43 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.43 = 4.706 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·4.706 = 9.412 V

V_A = V_B·3.429/11.43 = 2.824 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (2.824 − 9.412)/8 = −0.8235 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 24·11.43/19.43 = 14.12 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 14.12·3.429/11.43 = 4.235 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (4.235 − 14.12)/8 = −1.235 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0.8824 + (−0.8235) + (−1.235) = −1.176 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.3125 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 2 = 3.765 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·2/(15+2) = 1.176 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 1.176/3.765 = 0.3125 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = −0.3571 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.667 + 8 = 10.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + (−2.5)·2.667 = 13.33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13.33 + (−2.5)·8 = −6.667 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −6.667/(10.67 + 8) = −0.3571 A

11.运放电路

答案: V_out = 0.335 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.1 V

I = V₋/R₁ = 0.1/2 = 0.05 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.1 + 0.05·4.7 = 0.335 V

答案

V_out = 0.335 V

12.运放电路

答案: V_out = 7.91 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.7/1 = −1.7 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.8/47 = 0.01702 mA

I_f = I₁ + I₂ = −1.683 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·(−1.683) = 7.91 V

答案

V_out = 7.91 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 30 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0.9091 kΩ

v_C(∞) = 30·1/(10 + 1) = 2.727 V

时间常数

τ = R_th·C = 0.9091·33 = 30 ms

答案

τ = 30 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 18.1 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 47 µF = 220.9 ms

v_C(t) = 12 + (20 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(60) = 12 + (8)·e^−60/220.9 = 18.1 V

答案

v_C = 18.1 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th