电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 24 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.05·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ωg = 0.05 A/V

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 10 VV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 Ω

V_R4 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 5.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 11 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = −13.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 5.5 mA2·V₁: I = 11 mA−I_s: I = −13.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VI_s = 3 AR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.1 VR₁ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.2 VV₂ = −0.2 VR₁ = 1 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求开关闭合后电路的时间常数 τ。

V_s = 15 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 33 µF

τ = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 4.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 5 VV_th = 4.5 VT = 25 msR = 22 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.8235 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 15·21/(15+21) = 8.75 Ω

R_eq = R₁ + 8.75 = 4 + 8.75 = 12.75 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12.75 = 1.412 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.412·4 = 12.35 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12.35/15 = 0.8235 A

答案

I_R2 = 0.8235 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 23.57 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 2.438 Ω

R₃ + 2.438 = 27.44 Ω

R₂ ∥ 27.44 = 11.57 Ω

R_eq = R₁ + 11.57 = 12 + 11.57 = 23.57 Ω

答案

R_eq = 23.57 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = 0.2131 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 24)/6 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.5417·V_A − 0.25·V_B = 4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/4 = 1

−0.25·V_A + 0.35·V_B = 1

求解

Δ = (0.5417)(0.35) − (−0.25)(−0.25) = 0.1271

V_A = Δ₁/Δ = 1.65/0.1271 = 12.98 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.542/0.1271 = 12.13 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (12.98 − 12.13)/4 = 0.2131 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 0.4509 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.625·V_A − 0.1667·V_B = 3

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.05·V_A

−0.2167·V_A + 0.25·V_B = 0

求解

Δ = (0.625)(0.25) − (−0.1667)(−0.2167) = 0.1201

V_A = Δ₁/Δ = 0.75/0.1201 = 6.243 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.65/0.1201 = 5.41 V

流过 R₄ 的电流

I_R4 = V_B/R₄ = 5.41/12 = 0.4509 A

答案

I_R4 = 0.4509 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.455 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 15

14·I₁ − 2·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−9)

−2·I₁ + 5·I₂ = −9

求解

Δ = (14)(5) − (−2)(−2) = 66

I₁ = Δ₁/Δ = 57/66 = 0.8636 A

I₂ = Δ₂/Δ = −96/66 = −1.455 A

答案

I₂ = −1.455 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R4 = 4.267 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 10

6·I₁ − 2·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 34·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

4·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−18)

−20·I₂ + 24·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2400

I₁ = Δ₁/Δ = 3440/2400 = 1.433 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1680/2400 = −0.7 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3200/2400 = −1.333 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 2.133 A

V_R4 = I_R4·R₄ = 2.133·2 = 4.267 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 50.29 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 8+5 = 13 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·13/(20+13) = 7.879 Ω

V_A = 30·7.879/(4+7.879) = 19.9 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 19.9·5/13 = 7.653 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 19.9)/4 = 2.526 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 11.33 = 3.469 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −4·3.469 = −13.88 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −13.88·3.333/11.33 = −4.082 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − −4.082)/4 = 1.02 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 2.526 + 1.02 = 3.546 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 3.546²·4 = 50.29 W

答案

P_R1 = 50.29 W

把各单独情况下的功率相加会得到 29.68 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I = 15 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 5.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 11

I₁ + I₂ − I₃ = −13.5

求各贡献

I₁ = 11 − 5.5 = 5.5 mA

I₃ = (5.5 − (−13.5))/2 = 9.5 mA

I₂ = 5.5 − 5.5 − 9.5 = −9.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 5.5 + 9.5 = 15 mA

答案

I = 15 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.6386 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 20 = 23.53 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(5+12) = 16.94 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 16.94/(23.53 + 3) = 0.6386 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 7.219 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 2 = 3.765 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15.88 + 3·1.765 = 21.18 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 21.18 + 3·2 = 27.18 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 27.18/3.765 = 7.219 A

11.运放电路

答案: V_out = 0.2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.1 V

I = V₋/R₁ = 0.1/100 = 0.001 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.1 + 0.001·100 = 0.2 V

答案

V_out = 0.2 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.396 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.2/1 = 0.2 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.2/100 = −0.002 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.198 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·0.198 = −0.396 V

答案

V_out = −0.396 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 63.98 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·3.3/(4.7 + 3.3) = 1.939 kΩ

v_C(∞) = 15·3.3/(4.7 + 3.3) = 6.188 V

时间常数

τ = R_th·C = 1.939·33 = 63.98 ms

答案

τ = 63.98 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 0.4935 µF

所需的时间常数

4.5 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 4.5))

τ = 25/2.303 = 10.86 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 10.86/22 = 0.4935 µF

答案

C = 0.4935 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

流过 R₄ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th