电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩV₂ = 24 VR₂ = 2 ΩV₃ = 10 VR₃ = 15 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AV₂ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₅ 的电流 I_R5。

V₁ = 6 VV₂ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 Ω

I_R5 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

V_R4 = V

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 2 AV₂ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 36 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 6。

R₁ = 47 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.1 VV₂ = 1.1 VR₁ = 22 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 10 kΩR₄ = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 2.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 C = 2.2 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 5 VV_th = 2.5 VT = 25 msC = 2.2 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 7.81 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3.81 Ω

R_eq = R₁ + 3.81 = 4 + 3.81 = 7.81 Ω

答案

R_eq = 7.81 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.563 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 1.892 Ω

R₃ + 1.892 = 7.892 Ω

R₂ ∥ 7.892 = 1.596 Ω

R_eq = R₁ + 1.596 = 8 + 1.596 = 9.596 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9.596 = 1.563 A

答案

I_R1 = 1.563 A

3.节点分析

答案: I₁ = −5.522 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − (−15))/5 + (V_A − 24)/2 + (V_A − 10)/15 = 0

求 V_A

V_A = ((−15)/5 + 24/2 + 10/15) / (1/5 + 1/2 + 1/15) = 9.667/0.7667 = 12.61 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = ((−15) − V_A)/R₁ = ((−15) − 12.61)/5 = −5.522 A

答案

I₁ = −5.522 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R1 = 2.768 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 36 V, V₂ = −15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/8 + (V_A − 36)/10 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.475·V_A − 0.25·V_B = 3.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − (−15))/8 = 0.5

−0.25·V_A + 0.5·V_B = −1.375

求解

Δ = (0.475)(0.5) − (−0.25)(−0.25) = 0.175

V_A = Δ₁/Δ = 1.456/0.175 = 8.321 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.2469/0.175 = 1.411 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (36 − 8.321)/10 = 2.768 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.6 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 9

9·I₁ − 6·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−12)

−6·I₁ + 14·I₂ = −12

求解

Δ = (9)(14) − (−6)(−6) = 90

I₁ = Δ₁/Δ = 54/90 = 0.6 A

I₂ = Δ₂/Δ = −54/90 = −0.6 A

答案

I₂ = −0.6 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R5 = 0.4471 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 6

28·I₁ − 20·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 27·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−5)

−4·I₂ + 24·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 8096

I₁ = Δ₁/Δ = 3392/8096 = 0.419 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2320/8096 = 0.2866 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1300/8096 = −0.1606 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.4471 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R4 = 5.094 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+5 = 9 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω

V_A = 12·1.636/(8+1.636) = 2.038 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.038·5/9 = 1.132 V

V_R4′ = V_B − 0 = 1.132 − 0 = 1.132 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 5.6 = 2.642 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·2.642 = 3.962 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 3.962·1.6/5.6 = 1.132 V

V_R4″ = V_B − 0 = 3.962 − 0 = 3.962 V

叠加各分量

V_R4 = V_R4′ + V_R4″

V_R4 = 1.132 + 3.962 = 5.094 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: I_R3 = 1.745 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 2 ∥ 11 = 1.692 Ω

V_A = 12·1.692/(20+1.692) = 0.9362 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0.9362·6/11 = 0.5106 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (0.9362 − 0)/2 = 0.4681 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.818 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.818 = 6.818 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6.818 = 3.191 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·3.191 = 6.383 V

V_A = V_B·1.818/6.818 = 1.702 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (1.702 − 0)/2 = 0.8511 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 20·2/(20+2) = 1.818 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 6·6.818/12.82 = 3.191 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 3.191·1.818/6.818 = 0.8511 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (0.8511 − 0)/2 = 0.4255 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0.4681 + 0.8511 + 0.4255 = 1.745 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 1.714 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 3 = 7.286 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·6/(15+6) = 1.714 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.911 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.6 + 30 = 31.6 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 28.8 + 1·1.6 = 30.4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 30.4 + 1·30 = 60.4 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 60.4/31.6 = 1.911 A

11.运放电路

答案: R_f = 235 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·47 = 235 kΩ

答案

R_f = 235 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 0.3928 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.1·4.7/(10 + 4.7) = 0.3517 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(2/22)·(−0.1) + (1 + 2/22)·0.3517 = 0.009091 + 0.3837 = 0.3928 V

答案

V_out = 0.3928 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.299 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2.2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0.3333 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.3333·(1 − e^−5/2.2) = 0.299 A

答案

i = 0.299 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 16.39 kΩ

所需的时间常数

2.5 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 2.5))

τ = 25/0.6931 = 36.07 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 36.07/2.2 = 16.39 kΩ

答案

R = 16.39 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

所需的时间常数

电阻

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th