电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 36 VI_s = 3 AV₂ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 Ω

I_R1 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 21 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 33 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 10 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 21 mA2·V₁: I = 33 mA−I_s: I = 10 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.2 VR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 1 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 4.7 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 4.7 kΩV_in = 1 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。已知 R = 2.2 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 15 VV_th = 7.5 VT = 200 msR = 2.2 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 2.571 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_eq = R₁ + 2.667 = 2 + 2.667 = 4.667 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/4.667 = 3.857 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 3.857·2 = 10.29 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.29/4 = 2.571 A

答案

I_R2 = 2.571 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5751 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 17.14 Ω

R₃ + 17.14 = 32.14 Ω

R₂ ∥ 32.14 = 3.557 Ω

R_eq = R₁ + 3.557 = 15 + 3.557 = 18.56 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/18.56 = 0.6466 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.6466·15 = 2.3 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.3/4 = 0.5751 A

答案

I_R2 = 0.5751 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.7647 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 6)/12 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.5833·V_A − 0.3333·V_B = 0.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/3 = 1.5

−0.3333·V_A + 0.4333·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.5833)(0.4333) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1417

V_A = Δ₁/Δ = 0.7167/0.1417 = 5.059 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.042/0.1417 = 7.353 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (5.059 − 7.353)/3 = −0.7647 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 1.289 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 36 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 36)/3 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.4833·V_A − 0.08333·V_B = 12

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 24)/3 = 3

−0.08333·V_A + 0.4833·V_B = 11

求解

Δ = (0.4833)(0.4833) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.2267

V_A = Δ₁/Δ = 6.717/0.2267 = 29.63 V

V_B = Δ₂/Δ = 6.317/0.2267 = 27.87 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (27.87 − 24)/3 = 1.289 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.443 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 10

23·I₁ − 20·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−24)

−20·I₁ + 28·I₂ = −24

求解

Δ = (23)(28) − (−20)(−20) = 244

I₁ = Δ₁/Δ = −200/244 = −0.8197 A

I₂ = Δ₂/Δ = −352/244 = −1.443 A

答案

I₂ = −1.443 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R1 = 0.3478 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 12

30·I₁ − 10·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 45·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−30)

−10·I₂ + 30·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 34500

I₁ = Δ₁/Δ = 12000/34500 = 0.3478 A

I₂ = Δ₂/Δ = −5400/34500 = −0.1565 A

I₃ = Δ₃/Δ = −36300/34500 = −1.052 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.3478 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = 4.8 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+3 = 6 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

V_A = 30·2.727/(20+2.727) = 3.6 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.6·3/6 = 1.8 V

V_R2′ = V_A − 0 = 3.6 − 0 = 3.6 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 20·5/(20+5) = 4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 7 = 2.1 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·2.1 = 2.1 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 2.1·4/7 = 1.2 V

V_R2″ = V_A − 0 = 1.2 − 0 = 1.2 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = 3.6 + 1.2 = 4.8 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: I = 17.5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 21

2·I₁ + I₂ + I₃ = 33

I₁ + I₂ − I₃ = 10

求各贡献

I₁ = 33 − 21 = 12 mA

I₃ = (21 − 10)/2 = 5.5 mA

I₂ = 21 − 12 − 5.5 = 3.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 12 + 5.5 = 17.5 mA

答案

I = 17.5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.383 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.429 + 10 = 11.43 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·2/(5+2) = 5.143 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5.143/(11.43 + 2) = 0.383 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −2.773 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 10 = 15.71 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.571 + (−3)·5.714 = −13.57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −13.57 + (−3)·10 = −43.57 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −43.57/15.71 = −2.773 A

11.运放电路

答案: V_out = 2.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.2 V

I = V₋/R₁ = 0.2/2 = 0.1 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.2 + 0.1·22 = 2.4 V

答案

V_out = 2.4 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.585 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −4.7/2 = −2.35

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/47 = 1.1

逐级计算

V₁ = −2.35·1 = −2.35 V

V_out = 1.1·(−2.35) = −2.585 V

答案

V_out = −2.585 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 7.409 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.4255·(1 − e^−5/2.128) = 0.3849 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·0.3849² = 7.409 mJ

答案

W = 7.409 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 131.2 µF

所需的时间常数

7.5 = 15·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 7.5))

τ = 200/0.6931 = 288.5 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 288.5/2.2 = 131.2 µF

答案

C = 131.2 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th