电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 1.5 AV_s = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 4 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 ΩV_A = 4 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₅ 两端按图示极性的电压 V_R5。

V₁ = 12 VV₂ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 Ω

V_R5 = V

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AV₂ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 18 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 2.8 VV₂ = 2.5 VR₁ = R₃ = 2 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.2 VV₂ = 1.1 VR₁ = 100 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 24 VR = 10 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 10 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 10 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 10 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.462 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 12·17/(12+17) = 7.034 Ω

R_eq = R₁ + 7.034 = 12 + 7.034 = 19.03 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/19.03 = 0.788 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.788·12 = 5.543 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.543/12 = 0.462 A

答案

I_R2 = 0.462 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4622 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 30 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 18 Ω

R₃ + 18 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 5.867 Ω

R_eq = R₁ + 5.867 = 10 + 5.867 = 15.87 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/15.87 = 0.6303 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.6303·10 = 3.697 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.697/8 = 0.4622 A

答案

I_R2 = 0.4622 A

3.节点分析

答案: I_x = 1.389 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 5

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/5 + (V_A + 5)/4 = 1.5

V_A = (1.5 − 5/4)/(1/5 + 1/4) = 0.5556 V

V_B = 0.5556 + 5 = 5.556 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 5.556/4 = 1.389 A

答案

I_x = 1.389 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_s = 0.5542 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(4 − 6)/12 + 4/20 = (V_B − 4)/5

0.03333 = (V_B − 4)/5 → V_B = 4.167 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (4.167 − 4)/5 + 4.167/8 = 0.5542 A

答案

I_s = 0.5542 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.1829 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 15

14·I₁ − 12·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−15)

−12·I₁ + 22·I₂ = −15

求解

Δ = (14)(22) − (−12)(−12) = 164

I₁ = Δ₁/Δ = 150/164 = 0.9146 A

I₂ = Δ₂/Δ = −30/164 = −0.1829 A

答案

I₂ = −0.1829 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R5 = 5.883 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 12

21·I₁ − 15·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 15(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 33·I₂ − 15·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 15(I₃ − I₂) = (−6)

−15·I₂ + 20·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4635

I₁ = Δ₁/Δ = 3870/4635 = 0.835 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1710/4635 = 0.3689 A

I₃ = Δ₃/Δ = −108/4635 = −0.0233 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.3922 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 0.3922·15 = 5.883 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 1.125 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+4 = 7 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·7/(12+7) = 4.421 Ω

V_A = 6·4.421/(4+4.421) = 3.15 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.15·4/7 = 1.8 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (3.15 − 1.8)/3 = 0.45 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 3 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·4/10 = −0.4·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.45 − 0.4·I_s = 0

I_s = 0.45/0.4 = 1.125 A

答案

I_s = 1.125 A

8.叠加定理

答案: I_R3 = 5.243 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 37 = 3.61 Ω

V_A = 30·3.61/(2+3.61) = 19.3 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 19.3·12/37 = 6.261 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (19.3 − 0)/4 = 4.826 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.333 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.333 = 26.33 Ω

R_eq = R₄ ∥ 26.33 = 8.243 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·8.243 = 12.37 V

V_A = V_B·1.333/26.33 = 0.6261 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (0.6261 − 0)/4 = 0.1565 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 30·26.33/38.33 = 20.61 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 20.61·1.333/26.33 = 1.043 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (1.043 − 0)/4 = 0.2609 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 4.826 + 0.1565 + 0.2609 = 5.243 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 6.667 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.333 + 10 = 11.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(2+4) = 6.667 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 53.19 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 15 = 19.62 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.154 + 2.5·4.615 = 15.69 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 15.69 + 2.5·15 = 53.19 V

11.运放电路

答案: V_out = −1.5 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.5·10/(2 + 10) = 2.083 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2.8 − 2.083)/2 = (2.083 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/2)·(2.5 − 2.8) = −1.5 V

答案

V_out = −1.5 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.14 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.2/100 = −0.002 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/47 = 0.0234 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.0214 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −100·0.0214 = −2.14 V

答案

V_out = −2.14 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 288 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 24/10 = 2.4 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·2.4² = 288 mJ

答案

W(∞) = 288 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 1.114 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 10·1/(4.7 + 1) = 1.754 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

放电

v_C(t) = 1.754·e^−10/22 = 1.114 V

答案

v_C = 1.114 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

储存的能量

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th