电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 6 VI_s = 2.5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 6 VI_s = 5 AV₂ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 12 VI_s = 5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 12 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 23.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 23 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 12 mA2·V₁: I = 23.5 mA−I_s: I = 23 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VI_s = 6 AR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 1.5 VV₂ = −0.5 VR₁ = 100 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 60 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 68 µFt = 60 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5769 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 10·30/(10+30) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 12 + 7.5 = 19.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/19.5 = 0.7692 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.7692·12 = 5.769 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.769/10 = 0.5769 A

答案

I_R2 = 0.5769 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 20.67 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 5 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 10.85 Ω

R₃ + 10.85 = 22.85 Ω

R₂ ∥ 22.85 = 10.67 Ω

R_eq = R₁ + 10.67 = 10 + 10.67 = 20.67 Ω

答案

R_eq = 20.67 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 22.62 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 6)/10 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.7·V_A − 0.1·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/10 = 2.5

−0.1·V_A + 0.3·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.7)(0.3) − (−0.1)(−0.1) = 0.2

V_A = Δ₁/Δ = 0.43/0.2 = 2.15 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.81/0.2 = 9.05 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 9.05·2.5 = 22.62 W

答案

P_Is = 22.62 W

4.节点分析

答案: I_R4 = 1.963 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V, V₂ = 5 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/30 + (V_A − 6)/2 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.6333·V_A − 0.1·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/10 + (V_B − 5)/6 = 5

−0.1·V_A + 0.3917·V_B = 5.833

求解

Δ = (0.6333)(0.3917) − (−0.1)(−0.1) = 0.2381

V_A = Δ₁/Δ = 1.758/0.2381 = 7.386 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.994/0.2381 = 16.78 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (16.78 − 5)/6 = 1.963 A

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.36 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 18

35·I₁ − 20·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−18)

−20·I₁ + 40·I₂ = −18

求解

Δ = (35)(40) − (−20)(−20) = 1000

I₁ = Δ₁/Δ = 360/1000 = 0.36 A

I₂ = Δ₂/Δ = −270/1000 = −0.27 A

答案

I₁ = 0.36 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.08571 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 6

25·I₁ − 20·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 34·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−15)

−10·I₂ + 25·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 8750

I₁ = Δ₁/Δ = 1500/8750 = 0.1714 A

I₂ = Δ₂/Δ = −750/8750 = −0.08571 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5550/8750 = −0.6343 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.08571 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 4.954 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+6 = 16 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·16/(3+16) = 2.526 Ω

V_A = 12·2.526/(4+2.526) = 4.645 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.645·6/16 = 1.742 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 4.645)/4 = 1.839 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 6 ∥ 11.71 = 3.968 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·3.968 = 19.84 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 19.84·1.714/11.71 = 2.903 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 2.903)/4 = −0.7258 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 1.839 + (−0.7258) = 1.113 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 1.113²·4 = 4.954 W

答案

P_R1 = 4.954 W

把各单独情况下的功率相加会得到 15.63 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I = 6 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 12

2·I₁ + I₂ + I₃ = 23.5

I₁ + I₂ − I₃ = 23

求各贡献

I₁ = 23.5 − 12 = 11.5 mA

I₃ = (12 − 23)/2 = −5.5 mA

I₂ = 12 − 11.5 − (−5.5) = 6 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 11.5 + (−5.5) = 6 mA

答案

I = 6 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.3333 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 20 = 30 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·20/(20+20) = 12 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12/(30 + 6) = 0.3333 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −5.077 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 3 = 7.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.2 + (−6)·4.8 = −21.6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −21.6 + (−6)·3 = −39.6 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −39.6/7.8 = −5.077 A

11.运放电路

答案: V_in,max = 2.6 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 10/2 = 5

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/5 = 2.6 V

答案

V_in,max = 2.6 V

12.运放电路

答案: I_f = −0.485 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.5/100 = 0.015 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.5/1 = −0.5 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.485 mA

答案

I_f = −0.485 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 1.852 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0.2128 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.2128·(1 − e^−5/2.128) = 0.1925 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·0.1925² = 1.852 mJ

答案

W = 1.852 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 2.251 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 9·3.3/(6.8 + 3.3) = 2.941 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 3.3·68 = 224.4 ms

放电

v_C(t) = 2.941·e^−60/224.4 = 2.251 V

答案

v_C = 2.251 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th