电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 1 AV₂ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₅ 的电流 I_R5。

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 6 Ω

I_R5 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VI_s = 1.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 5 VI_s = 1.5 AV₂ = 5 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 36 VI_s = 6 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1 VR_a = 1 kΩR_b = 47 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.9 VV₂ = 1.1 VR₁ = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 2 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 9.6 V？求 t。

V_s = 6 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.029 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 6 + 8.571 = 14.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/14.57 = 1.029 A

答案

I_R1 = 1.029 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 4.931 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 3.214 Ω

R₃ + 3.214 = 33.21 Ω

R₂ ∥ 33.21 = 4.346 Ω

R_eq = R₁ + 4.346 = 2 + 4.346 = 6.346 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/6.346 = 5.673 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 5.673·2 = 24.65 V

I_R2 = V_A/R₂ = 24.65/5 = 4.931 A

答案

I_R2 = 4.931 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.2658 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 12)/2 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.8167·V_A − 0.06667·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/15 = 1.5

−0.06667·V_A + 0.1667·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.8167)(0.1667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.1317

V_A = Δ₁/Δ = 1.1/0.1317 = 8.354 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.625/0.1317 = 12.34 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (8.354 − 12.34)/15 = −0.2658 A

4.节点分析

答案: V_B = 16.25 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 10)/12 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.3·V_A − 0.05·V_B = 0.8333

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/20 + (V_B − 18)/5 = 1

−0.05·V_A + 0.3·V_B = 4.6

求解

Δ = (0.3)(0.3) − (−0.05)(−0.05) = 0.0875

V_A = Δ₁/Δ = 0.48/0.0875 = 5.486 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.422/0.0875 = 16.25 V

答案

V_B = 16.25 V

5.网孔分析

答案: V_R1 = 1.579 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 12

24·I₁ − 4·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−18)

−4·I₁ + 7·I₂ = −18

求解

Δ = (24)(7) − (−4)(−4) = 152

I₁ = Δ₁/Δ = 12/152 = 0.07895 A

I₂ = Δ₂/Δ = −384/152 = −2.526 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.07895 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0.07895·20 = 1.579 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R5 = 0.8269 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 9

24·I₁ − 4·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 6(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 20·I₂ − 6·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 6(I₃ − I₂) = (−18)

−6·I₂ + 18·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7488

I₁ = Δ₁/Δ = 2484/7488 = 0.3317 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1944/7488 = −0.2596 A

I₃ = Δ₃/Δ = −8136/7488 = −1.087 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.8269 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = −5.017 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+12 = 22 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·22/(2+22) = 1.833 Ω

V_A = 24·1.833/(3+1.833) = 9.103 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9.103·12/22 = 4.966 V

I_R2′ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 9.103)/2 = −4.552 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 3·2/(3+2) = 1.2 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 11.2 = 5.793 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·5.793 = 8.69 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 8.69·1.2/11.2 = 0.931 V

I_R2″ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 0.931)/2 = −0.4655 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = (−4.552) + (−0.4655) = −5.017 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = −2.645 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 6 = 3.75 Ω

V_A = 5·3.75/(20+3.75) = 0.7895 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0.7895·3/6 = 0.3947 V

V_R2′ = V_B − V_A = 0.3947 − 0.7895 = −0.3947 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 6.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+6.667 = 9.667 Ω

R_eq = R₄ ∥ 9.667 = 2.289 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1.5)·2.289 = −3.434 V

V_A = V_B·6.667/9.667 = −2.368 V

V_R2″ = V_B − V_A = −3.434 − −2.368 = −1.066 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−5)·9.667/12.67 = −3.816 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.816·6.667/9.667 = −2.632 V

V_R2‴ = V_B − V_A = −3.816 − −2.632 = −1.184 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = (−0.3947) + (−1.066) + (−1.184) = −2.645 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.2703 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·15/(3+15) = 2.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.5 + 6 = 8.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·15/(3+15) = 5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5/(8.5 + 10) = 0.2703 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 72 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 8 = 10 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 6·2 = 24 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 24 + 6·8 = 72 V

11.运放电路

答案: V_out = 5.563 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1·47/(1 + 47) = 0.9792 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.9792·(1 + 22/4.7) = 5.563 V

答案

V_out = 5.563 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.5091 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.9/22 = −0.04091 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/2 = 0.55 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.5091 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −1·0.5091 = −0.5091 V

答案

V_out = −0.5091 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.976 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1.65 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−2/1.65 = 2.976 V

答案

v_L = 2.976 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 916.3 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 6 + (15 − 6)·e^−t/τ

求解时间

9.6 = 6 + (9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9.6 − 6)/(15 − 6) = 0.4

t = τ·ln((15 − 6)/(9.6 − 6)) = 1000·ln(2.5) = 916.3 ms

答案

t = 916.3 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th