电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6θz

求 z = −6 + j2 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −6 + j2
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

解 z² − 6z + 10 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = −6q = 10
b =
3.交流阻抗和相量中等
24 V60 HzR = 25 ΩC = 22 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩC = 22 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 15 ΩL = 20 mHC = 0.01 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 15 Ω，L = 20 mH，C = 0.01 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 15 ΩL = 20 mHC = 0.01 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
P = 14 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 14 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求线路电流 I。

P = 14 kWpf = 0.7V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 45 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 45 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 1 nF+−9.6 VL = 10 mHiL​

一个充电到 24 V 的 1 nF 电容器与一个理想的 10 mH 电感振荡。求电容器电压为 9.6 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 1 nFV0 = 24 VvC = 9.6 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 10 nFr = 5 ΩL = 2.2 mH

一个并联谐振回路由一个 10 nF 电容器和一个绕组电阻为 5 Ω 的 2.2 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 2.2 mHC = 10 nFr = 5 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 75 Acos φ = 0.8滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 75 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 75 Acos φ = 0.8
P = kW
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 80 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4.7 kΩC47 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 60 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩC = 47 µFt = 60 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 3.3 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR = 3.3 kΩC = 47 µFvC(0) = 30 Vt = 120 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAIs​4 ABRL​20 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 10 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩRL = 20 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 3.3 kΩC = 22 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 3.3 kΩ, C = 22 nF。输入为6.6 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 3.3 kΩC = 22 nFf = 6.6 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))。 求给出 12 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))GM = 12 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: θ = 161.6 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −6, b = 2 → II

参考角

α = atan(2/6) = 18.43°

辐角

θ = 180° − α = 161.6°

答案

θ = 161.6°

极坐标形式为 z = 6.325∠161.6°。

2.复数

答案: b = 1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 40 = −4 < 0

求根公式

z = (6 ± j√4)/2 = 3 + j, 3 − j

答案

b = 1

答案

b = 1
3.交流阻抗和相量

答案: φ = −11.71 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 24/25 = 0.96 A
IX = V/XC = 24/120.6 = 0.1991 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(0.96² + 0.1991²) = 0.9804 A

相角

电容电流超前于 V，所以总电流超前，角度为负。

φ = −arctan(IX/IR) = −arctan(0.1991/0.96) = −11.71°

答案

φ = −11.71°
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 94.28

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.02·0.01·10⁻⁶)) = 11254 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.02/(0.01·10⁻⁶)) = 94.28

答案

Q = 94.28
5.交流功率和功率因数

答案: I = 50 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 14000/(400·0.7) = 50 A

答案

I = 50 A
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 38.21 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53.13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(25.84°) = 21.79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 38.21 kvar

答案

QC = 38.21 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 241.9 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁹·24² = 2.88 × 10⁻⁷ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁹·9.6² = 4.608 × 10⁻⁸ J

电感中的能量

WL = 2.419 × 10⁻⁷ J = 241.9 nJ

答案

WL = 241.9 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 44 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.0022/(1 × 10⁻⁸·5) = 44000 Ω = 44 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 93.81, Q²·r = 44000 Ω

答案

RD = 44 kΩ
9.三相电

答案: P = 49.88 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·75 = 62.35 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 62.35·0.8 = 49.88 kW

答案

P = 49.88 kW
10.三相电

答案: QC = 43.03 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.72) = 80·0.9639 = 77.11 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 43.03 kvar

答案

QC = 43.03 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 12.98 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 20·4.7/(1 + 4.7) = 16.49 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.8246·47 = 38.75 ms

充电曲线

vC(t) = 16.49·(1 − e−60/38.75) = 12.98 V

答案

vC = 12.98 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 24.61 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms
vC(t) = 20 + (30 − 20)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(120) = 20 + (10)·e−120/155.1 = 24.61 V

答案

vC = 24.61 V
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 4.615 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.077 + 12 = 15.08 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(8+5) = 4.615 V
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.231 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 2 = 6 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 4·4 = 24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24 + 4·2 = 32 V
Rth​ = 6 Ω+−Vth​32 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 32/(6 + 20) = 1.231 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −10.03 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(3300·2.2 × 10⁻⁸) = 13774 rad/s
fc = 2192 Hz → f/fc = 6600/2192 = 3.011

增益

|H| = 1/√(1 + 3.011²) = 0.3152
20·log₁₀(0.3152) = −10.03 dB

答案

|H| = −10.03 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 10.55

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(1·6) = 2.449 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 36)) = K/(1·6·(1 + 6)) = K/42

所需增益

42/K = 1012/20 = 3.981
K = 42/3.981 = 10.55

答案

K = 10.55

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