电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5z₁z₂w

已知 z₁ = 4∠−60° 和 z₂ = 0.5∠45°，求 w = z₁/z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 4∠−60°z₂ = 0.5∠45°
θ = °
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

用棣莫弗定理求 z = −1 + j 时 z⁹ 的实部。

z = −1 + jn = 9
Re(z⁹) =
3.交流阻抗和相量中等
24 V500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
10 V50 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 863 W7.5 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 7.5 A 和 863 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 230 VI = 7.5 AP = 863 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 20 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V47 Ω1 mH100 pF

一个串联 RLC 电路的 R = 47 Ω，L = 1 mH，C = 100 pF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 47 ΩL = 1 mHC = 100 pF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 220 nFR = 2 ΩL = 2.2 mH

一个充电的 220 nF 电容器通过总串联电阻为 2 Ω 的 2.2 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 2.2 mHC = 220 nFR = 2 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = 100 Acos φ = 0.8滞后

一个对称三相负载从线电压为 690 V 的电源取用 100 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 690 VIL = 100 Acos φ = 0.8
P = kW
10.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 20 Ωt = 0L68 mHi(t)

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 10 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 求 t = 250 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 6 Vt = 250 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAIs​3 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩRL = 4 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 100 mHC = 0.47 µFR = 100 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 100 Ω 两端，其中 L = 100 mH，C = 0.47 µF。 求品质因数 Q。

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF
Q =
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 16/(s(s + 1)(s + 6))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 16/(s(s + 1)(s + 6))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: θ = −105 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 / 0.5 = 8
θ = −60° − 45° = −105°

辐角

θ = −105°

答案

θ = −105°
2.复数

答案: Re(z⁹) = −16

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −1 + j = √2∠135°

棣莫弗定理

z⁹ = (√2)⁹∠1215° = 22.63∠135°

直角坐标形式

z⁹ = 22.63·(cos 135° + j sin 135°) = −16 + j16
Re(z⁹) = −16

答案

Re(z⁹) = −16
3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.7709

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 157.1 Ω, XC = 144.7 Ω

阻抗

|Z| = √(15² + (12.39)²) = 19.46 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 15/19.46 = 0.7709
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.7709
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.0773 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−129)²) = 129.4 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/129.4 = 0.0773 A

答案

I = 0.0773 A
5.交流功率和功率因数

答案: X = 26.55 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 863/7.5² = 15.34 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 230/7.5 = 30.67 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(30.67² − 15.34²) = 26.55 Ω

答案

X = 26.55 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 7.952 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(41.41°) = 17.64 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(25.84°) = 9.686 kvar
QC = Q1 − Q2 = 7.952 kvar

答案

QC = 7.952 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 7.48 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 47/0.001 = 47000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 47000/(2π) = 7480 Hz = 7.48 kHz

答案

BW = 7.48 kHz

当 f₀ = 503.3 kHz 时，得到 Q = 67.28。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 11.03

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.0022·ln 2/2 = 0.001525 s

周期数

n = t·f0 = 0.001525·7234 = 11.03

答案

n = 11.03

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 50。

9.三相电

答案: P = 95.61 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·690·100 = 119.5 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 119.5·0.8 = 95.61 kW

答案

P = 95.61 kW
10.三相电

答案: Cph = 381.5 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.75) = 250·0.8819 = 220.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 99.4 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 33133/(377·480²) = 381.5 µF

答案

Cph = 381.5 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.6894 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e−5/3.4 = 0.6894 A

答案

i = 0.6894 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 11.78 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 20 + (6 − 20)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(250) = 20 + (−14)·e−250/470 = 11.78 V

答案

vC = 11.78 V
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 7.826 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.217 + 2 = 7.217 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·15/(8+15) = 7.826 V
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 25.84 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.571 + 8 = 16.57 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.571 + 3·8.571 = 28.29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28.29 + 3·8 = 52.29 V
Rth​ = 16.57 Ω+−Vth​52.29 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 52.29/(16.57 + 4) = 2.542 A
PL = IL²·RL = 2.542²·4 = 25.84 W
15.伯德图与裕度

答案: Q = 4.613

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7 × 10⁻⁷) = 4613 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 734.1 Hz

品质因数

BW = R/L = 100/0.1 = 1000 rad/s = 159.2 Hz
Q = ω₀/BW = 4613/1000 = 4.613

答案

Q = 4.613
16.伯德图与裕度

答案: GM = 8.383 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(1·6) = 2.449 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 36)) = K/(1·6·(1 + 6)) = K/42

增益裕度

GM = 20·log₁₀(42/16) = 8.383 dB

答案

GM = 8.383 dB

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