电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

把 z = −1 + j 写成指数形式 r·ejθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −1 + j
θ = rad
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 16∠120° 的根。点选它。

w = 16∠120°n = 4
  1. 1A (2∠−30°)
  2. 2B (2∠75°)
  3. 3C (3.6∠75°)
  4. 4D (2∠30°)
3.交流阻抗和相量中等
100 V60 HzR = 80 ΩC = 47 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 10 ΩL = 1 mHC = 0.47 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 10 Ω，L = 1 mH，C = 0.47 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 10 ΩL = 1 mHC = 0.47 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 27 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 27 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 27 kWpf = 0.85V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
230 V60 Hz负载11 kW, 0.7C150 µFI

一个单相负载从 230 V、60 Hz 的电源吸取 11 kW，功率因数为 0.7（滞后）。一个 150 µF 的电容与负载并联。 求电源看到的新功率因数 cos φ。

P = 11 kWpf1 = 0.7V = 230 Vf = 60 HzC = 150 µF
cos φ =
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 10 mHC = 220 pF

在 L = 10 mH、C = 220 pF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 10 mHC = 220 pF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V10 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 10 Ω，谐振频率为 10 kHz，带宽为 500 Hz。求电容 C，单位 nF。

R = 10 Ωf0 = 10 kHzBW = 500 Hz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M45 kW, η = 93%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 45 kWη = 93%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 150 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 12 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 VR1​ = 15 ΩR2​ = 22 Ω在 t = 0 闭合L100 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

Vs = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAIs​1.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VIs = 1.5 AR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 1 mHC = 0.1 µFR = 2 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 2 Ω 两端，其中 L = 1 mH，C = 0.1 µF。 求 −3 dB 带宽 BW，单位为 Hz。

R = 2 ΩL = 1 mHC = 0.1 µF
BW = Hz
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))。 求给出 15 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))GM = 15 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: θ = 2.356 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(1 + 1) = 1.414

以弧度表示的辐角

θ = 135° = 135·π/180 = 2.356 rad

指数形式

z = 1.414·ej2.356

答案

θ = 2.356 rad
2.复数

答案: D (2∠30°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2
θ = 30°, 120°, −150°, −60°

该点

D = 2∠30°

答案

D (2∠30°)
3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 46.12 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 100/80 = 1.25 A
IX = V/XC = 100/56.44 = 1.772 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(1.25² + 1.772²) = 2.168 A

阻抗

|Z| = V/I = 100/2.168 = 46.12 Ω

答案

|Z| = 46.12 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: B = 1592 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.47·10⁻⁶)) = 7341 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0.001/(0.47·10⁻⁶)) = 4.613

带宽

B = f0/Q = 7341/4.613 = 1592 Hz

答案

B = 1592 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 16.73 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.85) = 31.79°, tan φ = 0.6197

无功功率

Q = P·tan φ = 27·0.6197 = 16.73 kvar

答案

Q = 16.73 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.8007

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 11·tan(arccos 0.7) = 11.22 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·150·10⁻⁶ = 2991 var = 2.991 kvar
Q2 = 11.22 − 2.991 = 8.231 kvar

新的视在功率

S2 = √(11² + 8.231²) = 13.74 kVA

新的功率因数

cos φ = P/S2 = 11/13.74 = 0.8007

答案

cos φ = 0.8007
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 2.33 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.01·2.2 × 10⁻¹⁰) = 9.319 µs

四分之一周期

t = T/4 = 2.33 µs

答案

t = 2.33 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 79.58 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 10/(2π·500) = 0.003183 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·10000)²·0.003183) = 7.958 × 10⁻⁸ F = 79.58 nF

答案

C = 79.58 nF

Q = f₀/BW = 20。

9.三相电

答案: IL = 85.17 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 45/0.93 = 48.39 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 48387/(√3·400·0.82) = 85.17 A

答案

IL = 85.17 A
10.三相电

答案: Cph = 152.4 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.8) = 150·0.75 = 112.5 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.98) = 150·0.2031 = 30.46 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 82.04 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 27347/(377·690²) = 152.4 µF

答案

Cph = 152.4 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 2.768 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 12/22 = 0.5455 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−10/6.818 = 2.768 V

答案

vL = 2.768 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5753 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 12/(15 + 22) = 0.3243 A
i(∞) = 12/15 = 0.8 A
τ = L/R = 100/15 = 6.667 ms
i(t) = 0.8 + (0.3243 − 0.8)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.8 + (−0.4757)·e−5/6.667 = 0.5753 A

答案

i = 0.5753 A
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 26.67 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 20 = 26.67 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 69.75 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 30 = 31.5 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 22.5 + 1.5·1.5 = 24.75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24.75 + 1.5·30 = 69.75 V
15.伯德图与裕度

答案: BW = 318.3 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.001·1 × 10⁻⁷) = 100000 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 15915 Hz

带宽

BW = R/L = 2/0.001 = 2000 rad/s = 318.3 Hz

答案

BW = 318.3 Hz
16.伯德图与裕度

答案: K = 54.77

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(4·7) = 5.292 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

所需增益

308/K = 1015/20 = 5.623
K = 308/5.623 = 54.77

答案

K = 54.77

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