电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

求 z = −9 + j 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −9 + j
θ = °
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠0° 的根。点选它。

w = 27∠0°n = 3
  1. 1A (3∠−60°)
  2. 2B (5.4∠−60°)
  3. 3C (3∠−90°)
  4. 4D (3∠−120°)
3.交流阻抗和相量中等
12 V50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 50 ΩL = 100 mHC = 0.01 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 50 Ω，L = 100 mH，C = 0.01 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0.01 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 20 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 20 kWpf = 0.85V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
230 V50 Hz负载22 kW, 0.65C330 µFI

一个单相负载从 230 V、50 Hz 的电源吸取 22 kW，功率因数为 0.65（滞后）。一个 330 µF 的电容与负载并联。 求电源看到的新功率因数 cos φ。

P = 22 kWpf1 = 0.65V = 230 Vf = 50 HzC = 330 µF
cos φ =
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V1 Ω0.47 µH100 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 1 Ω，L = 0.47 µH，C = 100 nF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 1 ΩL = 0.47 µHC = 100 nF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V50 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 50 Ω，谐振频率为 20 kHz，带宽为 1 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 50 Ωf0 = 20 kHzBW = 1 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M37 kW, η = 95%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 95%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 95%cos φ = 0.82VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 200 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 2.2 kΩR2​ = 3.3 kΩC47 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 75 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR1 = 2.2 kΩR2 = 3.3 kΩC = 47 µFt = 75 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 4.7 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 11.25 V 时它必须触发，恰好在开始后 10 ms。 已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 15 VVth = 11.25 VT = 10 msR = 4.7 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAIs​2 ABRL​5 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 5 VIs = 2 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩRL = 5 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 50 mHC = 2.2 µFR = 20 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 20 Ω 两端，其中 L = 50 mH，C = 2.2 µF。 求 −3 dB 带宽 BW，单位为 Hz。

R = 20 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
BW = Hz
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.010.010.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 2/(s(s + 2))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 2/(s(s + 2))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = 173.7 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −9, b = 1 → II

参考角

α = atan(1/9) = 6.34°

辐角

θ = 180° − α = 173.7°

答案

θ = 173.7°

极坐标形式为 z = 9.055∠173.7°。

2.复数

答案: D (3∠−120°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 0°, 120°, −120°

该点

D = 3∠−120°

答案

D (3∠−120°)
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.03931 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−302.6)²) = 305.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/305.2 = 0.03931 A

答案

I = 0.03931 A
4.交流阻抗和相量

答案: B = 79.58 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.1·0.01·10⁻⁶)) = 5033 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.1/(0.01·10⁻⁶)) = 63.25

带宽

B = f0/Q = 5033/63.25 = 79.58 Hz

答案

B = 79.58 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 58.82 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 20000/(400·0.85) = 58.82 A

答案

I = 58.82 A
6.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.736

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 22·tan(arccos 0.65) = 25.72 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·330·10⁻⁶ = 5484 var = 5.484 kvar
Q2 = 25.72 − 5.484 = 20.24 kvar

新的视在功率

S2 = √(22² + 20.24²) = 29.89 kVA

新的功率因数

cos φ = P/S2 = 22/29.89 = 0.736

答案

cos φ = 0.736
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 338.6 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 1/4.7 × 10⁻⁷ = 2.128 × 10⁶ rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 2.128 × 10⁶/(2π) = 338628 Hz = 338.6 kHz

答案

BW = 338.6 kHz

当 f₀ = 734.1 kHz 时，得到 Q = 2.168。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 7.958 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 50/(2π·1000) = 0.007958 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·20000)²·0.007958) = 7.958 × 10⁻⁹ F = 7.958 nF

答案

C = 7.958 nF

Q = f₀/BW = 20。

9.三相电

答案: IL = 57.13 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.95 = 38.95 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 38947/(√3·480·0.82) = 57.13 A

答案

IL = 57.13 A
10.三相电

答案: QC = 95.91 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.72) = 200·0.9639 = 192.8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 95.91 kvar

答案

QC = 95.91 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 8.418 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 2.2·3.3/(2.2 + 3.3) = 1.32 kΩ
vC(∞) = 20·3.3/(2.2 + 3.3) = 12 V

时间常数

τ = Rth·C = 1.32·47 = 62.04 ms

充电曲线

vC(t) = 12·(1 − e−75/62.04) = 8.418 V

答案

vC = 8.418 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 1.535 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

11.25 = 15·(1 − e−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 11.25))
τ = 10/1.386 = 7.213 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 7.213/4.7 = 1.535 µF

答案

C = 1.535 µF
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 16.67 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.667 + 15 = 16.67 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 10.43 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 12 = 16 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.667 + (−2)·4 = −6.333 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6.333 + (−2)·12 = −30.33 V
Rth​ = 16 Ω−+Vth​30.33 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −30.33/(16 + 5) = −1.444 A
PL = IL²·RL = −1.444²·5 = 10.43 W
15.伯德图与裕度

答案: BW = 63.66 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·2.2 × 10⁻⁶) = 3015 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 479.9 Hz

带宽

BW = R/L = 20/0.05 = 400 rad/s = 63.66 Hz

答案

BW = 63.66 Hz
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 0.9102 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 4ω² − 4 = 0
ω² = (−4 + √(16 + 4·4))/2 = 0.8284
ωc = 0.9102 rad/s

答案

ωc = 0.9102 rad/s

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