电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−344−4−455−5−566−6−677−7−788−8−8zABCD

图中显示 z = −3 + j。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = −3 + jw = 0.5∠−90°
  1. 1A (−2 − j6)
  2. 2B (−1 − j3)
  3. 3C (2 + j6)
  4. 4D (−6 + j2)
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃

n = 4、w = 16∠0° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2, 3。求 z₃ 的虚部。

w = 16∠0°n = 4k = 3
Im(z₃) =
3.交流阻抗和相量中等
50 V50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 22 µF

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 22 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
120 V200 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
f0 = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 3 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 3 kW，功率因数为 0.8（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 3 kWpf = 0.8V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
100 V50 HzRs​ = 5 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

一个 100 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 5 + j30 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 100 V (rms)f = 50 HzZs = 5 + j30 Ω
Pmax = W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V47 kΩ10 mH470 pF

一个并联 RLC 电路的 R = 47 kΩ，L = 10 mH，C = 470 pF。求它的品质因数 Q。

R = 47 kΩL = 10 mHC = 470 pF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?10 µHC

一个串联谐振电路使用 10 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 100 kHz？

L = 10 µHBW = 100 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VZ = 5 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 5 + j12 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VZ = 5 + j12 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 4.7 kΩR2​ = 10 kΩC68 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求开关闭合后电路的时间常数 τ。

Vs = 30 VR1 = 4.7 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µF
τ = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 5.69 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。 已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 9 VVth = 5.69 VT = 200 msR = 22 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩARL​12 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩRL = 12 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​2 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 10

求 G(s) = 27(s + 8)/(s(s + 13)) 在 ω = 10 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 27(s + 8)/(s(s + 13))ω = 10 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 15.2/(s(s + 4))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 15.2/(s(s + 4))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: A (−2 − j6)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = −2 − j6 → A

答案

A (−2 − j6)
2.复数

答案: Im(z₃) = −2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

161/4 = 2

根的辐角

θ₃ = (0° + 360°·3)/4 = 270° → −90°

直角坐标形式

z₃ = 2·(cos −90° + j sin −90°) = −j2
Im(z₃) = −2

答案

Im(z₃) = −2

4 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 90°。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = −45.66 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−81.85)²) = 114.5 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−81.85/80) = −45.66°

答案

φ = −45.66°
4.交流阻抗和相量

答案: f0 = 146.8 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·4.7·10⁻⁶)) = 146.8 Hz

答案

f0 = 146.8 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 2.25 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75

无功功率

Q = P·tan φ = 3·0.75 = 2.25 kvar

答案

Q = 2.25 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 500 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 5 − j30 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 100/10 = 10 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 100²/(4·5) = 500 W

答案

Pmax = 500 W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 10.19

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 461266 rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 47000/(461266·0.01) = 10.19

答案

Q = 10.19

带宽为 1/(2πRC) = 7.205 kHz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 6.283 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·1 × 10⁻⁵·100000 = 6.283 Ω

答案

R = 6.283 Ω
9.三相电

答案: P = 20.45 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 480 V

相电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 480/13 = 36.92 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·36.92²·5 = 20.45 kW

答案

P = 20.45 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.3846，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 1592 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.75) = 250·0.8819 = 220.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 138.3 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 46103/(377·277.1²) = 1592 µF

答案

Cph = 1592 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 217.4 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·10/(4.7 + 10) = 3.197 kΩ
vC(∞) = 30·10/(4.7 + 10) = 20.41 V

时间常数

τ = Rth·C = 3.197·68 = 217.4 ms

答案

τ = 217.4 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 9.088 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

5.69 = 9·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 5.69))
τ = 200/1 = 199.9 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 199.9/22 = 9.088 µF

答案

C = 9.088 µF
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.2353 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 6 = 8.4 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·3/(12+3) = 4.8 V
Rth​ = 8.4 Ω+−Vth​4.8 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 4.8/(8.4 + 12) = 0.2353 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 3.5 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·2/(3+2) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 2 = 3.2 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.8 + 2·1.2 = 7.2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7.2 + 2·2 = 11.2 V
IN​3.5 ARth​3.2 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 11.2/3.2 = 3.5 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −76.23 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(10/8) − 90° − atan(10/13) = 51.34° − 90° − 37.57°

结果

∠G(j10) = −76.23°

答案

∠G(jω) = −76.23°
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 3.029 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 231 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·231))/2 = 9.177
ωc = 3.029 rad/s

答案

ωc = 3.029 rad/s

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