电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm1010−10−102020−20−20z₁z₂w

已知 z₁ = 5∠30° 和 z₂ = 4∠−50°，求 w = z₁·z₂ 的虚部。

z₁ = 5∠30°z₂ = 4∠−50°
Im(w) =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z⁶ = 64∠90° 的根。点选它。

w = 64∠90°n = 6
  1. 1A (3.6∠−15°)
  2. 2B (2∠45°)
  3. 3C (2∠−45°)
  4. 4D (2∠−15°)
3.交流阻抗和相量中等
230 V500 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 47 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
50 V50 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 80 ΩC = 47 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 25 ΩR2 = 80 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
5.交流功率和功率因数中等
P = 12 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 12 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 12 kWpf = 0.6V = 230 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 50 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V1 Ω220 µH47 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 1 Ω，L = 220 µH，C = 47 nF。求它的带宽 BW，单位 Hz。

R = 1 ΩL = 220 µHC = 47 nF
BW = Hz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?900 kHz1.125 MHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 900 kHz 和 1.125 MHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 900 kHzf2 = 1.125 MHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 12 Acos φ = 0.92滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 12 A 的线电流，功率因数为 0.92（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 12 Acos φ = 0.92
P = kW
10.三相电困难
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 120 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 22 Ωt = 0L47 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.3 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1.5 AR = 22 ΩL = 47 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 4.7 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 80 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR = 4.7 kΩC = 33 µFvC(0) = 15 Vt = 80 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABRL​15 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 18 VIs = 0.5 AR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩRL = 15 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 1 mHR = 47 Ωvout​

图中所示的RL 低通滤波器有R = 47 Ω, L = 1 mH。输入为1.9 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 47 ΩL = 1 mHf = 1.9 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))。 求给出 12 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))GM = 12 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: Im(w) = −6.84

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 5 · 4 = 20
θ = 30° + (−50)° = −20°

直角坐标形式

Re(w) = 20·cos(−20°) = 18.79
Im(w) = 20·sin(−20°) = −6.84
Im(w) = −6.84

答案

Im(w) = −6.84
2.复数

答案: C (2∠−45°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2
θ = 15°, 75°, 135°, −165°, −105°, −45°

该点

C = 2∠−45°

答案

C (2∠−45°)
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 65.97 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (56.06)²) = 61.38 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(56.06/25) = 65.97°

答案

φ = 65.97°
4.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 70.48 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 33.4 − j39.45 Ω

总阻抗

Z = 25 + 33.4 − j39.45 = 58.4 − j39.45 Ω
|Z| = √(58.4² + 39.45²) = 70.48 Ω

答案

|Z| = 70.48 Ω
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 16 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

无功功率

Q = P·tan φ = 12·1.333 = 16 kvar

答案

Q = 16 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: C = 220.2 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(36.87°) = 37.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25.84°) = 24.22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 13.28 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 13284/(2π·60·400²) = 220.2 µF

答案

C = 220.2 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 723.4 Hz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 1/0.00022 = 4545 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 4545/(2π) = 723.4 Hz = 723.4 Hz

答案

BW = 723.4 Hz

当 f₀ = 49.49 kHz 时，得到 Q = 68.42。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 4.472

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(900000·1.125 × 10⁶) = 1.006 × 10⁶ Hz

带宽

BW = 1.125 × 10⁶ − 900000 = 225000 Hz

品质因数

Q = 1.006 × 10⁶/225000 = 4.472

答案

Q = 4.472
9.三相电

答案: P = 9.178 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·12 = 9.977 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 9.977·0.92 = 9.178 kW

答案

P = 9.178 kW
10.三相电

答案: Cph = 748.6 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.78) = 120·0.8023 = 96.27 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.92) = 120·0.426 = 51.12 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 45.15 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15051/(377·230.9²) = 748.6 µF

答案

Cph = 748.6 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.438 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms

求解时间

0.3 = 1.5·e−t/τ → t = τ·ln(1.5/0.3)
t = 2.136·ln(5) = 3.438 ms

答案

t = 3.438 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 17.01 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms
vC(t) = 20 + (15 − 20)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(80) = 20 + (−5)·e−80/155.1 = 17.01 V

答案

vC = 17.01 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 5.4 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 3 = 5.4 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 5.484 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.429 + 2 = 3.429 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12.86 + (−0.5)·1.429 = 12.14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12.14 + (−0.5)·2 = 11.14 V
Rth​ = 3.429 Ω+−Vth​11.14 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 11.14/(3.429 + 15) = 0.6047 A
PL = IL²·RL = 0.6047²·15 = 5.484 W
15.伯德图与裕度

答案: φ = −14.25 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 47/0.001 = 47000 rad/s
fc = 7480 Hz → f/fc = 1900/7480 = 0.254

相位

φ = − atan(0.254) = −14.25°

答案

φ = −14.25°
16.伯德图与裕度

答案: K = 5.024

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/4) = 1 → ω180 = √(1·4) = 2 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 16)) = K/(1·4·(1 + 4)) = K/20

所需增益

20/K = 1012/20 = 3.981
K = 20/3.981 = 5.024

答案

K = 5.024

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