电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−11.51.5−1.5−1.5θz

数 z = 1.5·e−j0.5 的角度以弧度为单位。求它的实部 a。

r = 1.5θ = −0.5 rad
a =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ − 9z² + 28z − 30 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
120 V100 HzR = 30 ΩC = 47 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
24 V500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 19 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 19 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 19 kWpf = 0.7V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求新的线路电流 Inew。

P = 20 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 1 µF+−3.75 VL = 100 µHiL​

一个充电到 15 V 的 1 µF 电容器与一个理想的 100 µH 电感振荡。求电容器电压为 3.75 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 1 µFV0 = 15 VvC = 3.75 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 2.2 nFR = 20 ΩL = 10 mH

一个充电的 2.2 nF 电容器通过总串联电阻为 20 Ω 的 10 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 10 mHC = 2.2 nFR = 20 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M22 kW, η = 93%cos φ = 0.86

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 22 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.86（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 22 kWη = 93%cos φ = 0.86VL = 415 V
IL = A
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 VR1​ = 33 ΩR2​ = 10 Ω在 t = 0 闭合L220 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.609 A？求 t。

Vs = 24 VR1 = 33 ΩR2 = 10 ΩL = 220 mH
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩARL​10 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩRL = 10 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1.5 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 36 VIs = 1.5 AR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩRL = 3 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.1111010100100−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 1

求 G(s) = 8(s + 10)/(s(s + 2)) 在 ω = 1 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 8(s + 10)/(s(s + 2))ω = 1 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 3))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 3))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: a = 1.316

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 1.5·(cos −0.5 + j sin −0.5)

分量（弧度）

a = 1.5·cos −0.5 = 1.316
b = 1.5·sin −0.5 = −0.7191
a = 1.316

答案

a = 1.316
2.复数

答案: r = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 1²) = z² − 6z + 10

提取二次因式

z³ − 9z² + 28z − 30 = (z² − 6z + 10)(z − 3)

实根

r = 3

答案

r = 3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + 3 = 9 = −(−9)。

3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 22.46 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XC = 120/33.86 = 3.544 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(4² + 3.544²) = 5.344 A

阻抗

|Z| = V/I = 120/5.344 = 22.46 Ω

答案

|Z| = 22.46 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 0.1218 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (625.1)²) = 627.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/627.1 = 0.03827 A

电容电压

VC = I·XC = 0.03827·3.183 = 0.1218 V

答案

VC = 0.1218 V
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 19.38 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02

无功功率

Q = P·tan φ = 19·1.02 = 19.38 kvar

答案

Q = 19.38 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 96.62 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(45.57°) = 20.4 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(25.84°) = 9.686 kvar
QC = Q1 − Q2 = 10.72 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(230·0.9) = 96.62 A

答案

Inew = 96.62 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 105.5 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁶·15² = 0.0001125 J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁶·3.75² = 7.031 × 10⁻⁶ J

电感中的能量

WL = 0.0001055 J = 105.5 µJ

答案

WL = 105.5 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 23.52

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.01·ln 2/20 = 0.0006931 s

周期数

n = t·f0 = 0.0006931·33932 = 23.52

答案

n = 23.52

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 106.6。

9.三相电

答案: IL = 38.27 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 22/0.93 = 23.66 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23656/(√3·415·0.86) = 38.27 A

答案

IL = 38.27 A
10.三相电

答案: Cph = 36.1 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.8) = 60·0.75 = 45 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 19.44 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 6480/(377·690²) = 36.1 µF

答案

Cph = 36.1 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 2.407 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0.2128 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/0.7021 = 2.407 V

答案

vL = 2.407 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 2.385 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(33 + 10) = 0.5581 A
i(∞) = 24/33 = 0.7273 A
τ = L/R = 220/33 = 6.667 ms
i(t) = 0.7273 + (0.5581 − 0.7273)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.609 − 0.7273)/(0.5581 − 0.7273) = 0.6993
t = 6.667·ln(1.43) = 2.385 ms

答案

t = 2.385 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.07826 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 20 = 22.86 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·4/(10+4) = 2.571 V
Rth​ = 22.86 Ω+−Vth​2.571 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 2.571/(22.86 + 10) = 0.07826 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 9.696 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.429 + 15 = 16.43 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.29 + 1.5·1.429 = 12.43 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12.43 + 1.5·15 = 34.93 V
Rth​ = 16.43 Ω+−Vth​34.93 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 34.93/(16.43 + 3) = 1.798 A
PL = IL²·RL = 1.798²·3 = 9.696 W
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −110.9 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(1/10) − 90° − atan(1/2) = 5.711° − 90° − 26.57°

结果

∠G(j1) = −110.9°

答案

∠G(jω) = −110.9°
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 1.732 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/3) = 1 → ω180 = √(1·3) = 1.732 rad/s

答案

ω180 = 1.732 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2