电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6z₁z₂w

已知 z₁ = 2∠−60° 和 z₂ = 3∠80°，求 w = z₁·z₂ 的虚部。

z₁ = 2∠−60°z₂ = 3∠80°
Im(w) =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

解 z² + 8z + 20 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = 8q = 20
b =
3.交流阻抗和相量中等
12 V100 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
24 V60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF
f0 = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 26 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 26 kW，功率因数为 0.8（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 26 kWpf = 0.8V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 10 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.7071100 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 100 kHz 谐振，Q = 2.5。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 100 kHzQ = 2.5
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 22 nFR = 2 ΩL = 4.7 mH

一个充电的 22 nF 电容器通过总串联电阻为 2 Ω 的 4.7 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 4.7 mHC = 22 nFR = 2 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VZ = 20 + j15 Ω每相

一个每相阻抗为 20 + j15 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VZ = 20 + j15 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 25 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 15 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 25 ms
W = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 40 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 15 Vt = 40 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​4 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 5 VIs = 4 AR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−60−40−2002040ω (rad/s)ω = 3

求 G(s) = 1056/((s + 8)(s + 12)) 在 ω = 3 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 1056/((s + 8)(s + 12))ω = 3 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 108/(s(s + 8))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 108/(s(s + 8))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: Im(w) = 2.052

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 · 3 = 6
θ = −60° + 80° = 20°

直角坐标形式

Re(w) = 6·cos(20°) = 5.638
Im(w) = 6·sin(20°) = 2.052
Im(w) = 2.052

答案

Im(w) = 2.052
2.复数

答案: b = 2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 64 − 80 = −16 < 0

求根公式

z = (−8 ± j√16)/2 = −4 + j2, −4 − j2

答案

b = 2

答案

b = 2
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 70.5 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (141.2)²) = 149.8 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(141.2/50) = 70.5°

答案

φ = 70.5°
4.交流阻抗和相量

答案: f0 = 129.9 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·10·10⁻⁶)) = 129.9 Hz

答案

f0 = 129.9 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 19.5 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75

无功功率

Q = P·tan φ = 26·0.75 = 19.5 kvar

答案

Q = 19.5 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 9.073 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(53.13°) = 13.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(23.07°) = 4.26 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.073 kvar

答案

QC = 9.073 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 81.98 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·2.5²)) = 1.02

较低的半功率频率

f1 = 100000·(1.02 − 0.2) = 81980 Hz = 81.98 kHz

答案

f1 = 81.98 kHz

较高的是 f₂ = 122 kHz；检验：f₂ − f₁ = 40 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 50.99

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.0047·ln 2/2 = 0.003258 s

周期数

n = t·f0 = 0.003258·15652 = 50.99

答案

n = 50.99

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 231.1。

9.三相电

答案: P = 22.12 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 480 V

相电流

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 480/25 = 19.2 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·19.2²·20 = 22.12 kW

答案

P = 22.12 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 201.6 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.75) = 80·0.8819 = 70.55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 36.47 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12158/(377·400²) = 201.6 µF

答案

Cph = 201.6 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 111 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1.5 A

给定时刻的电流

i(t) = 1.5·(1 − e−25/15) = 1.217 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·150·1.217² = 111 mJ

答案

W = 111 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 17.97 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 24 + (15 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(40) = 24 + (−9)·e−40/100 = 17.97 V

答案

vC = 17.97 V
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 4 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 20 = 22 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·6/(3+6) = 4 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 22.78 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.609 + 2 = 4.609 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.348 + 4·2.609 = 14.78 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14.78 + 4·2 = 22.78 V
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 19.99 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j3)| = 1056/(√(3² + 8²)·√(3² + 12²)) = 1056/(8.544·12.37) = 9.992

结果

20·log₁₀(9.992) = 19.99 dB

答案

|G(jω)| = 19.99 dB
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 8.98 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 64ω² − 11664 = 0
ω² = (−64 + √(4096 + 4·11664))/2 = 80.64
ωc = 8.98 rad/s

答案

ωc = 8.98 rad/s

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