电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 2.5∠−75° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 2.5θ = −75°
a =
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1z₁z₂

z³ + z² − 2 = 0 的一个根为 z₁ = −1 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −1 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 500 HzRL = 2 mHC = ?

一个 L = 2 mH 的 RLC 串联电路必须在 500 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 500 HzL = 2 mH
C = µF
4.交流阻抗和相量困难
50 V500 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 60 ΩC = 4.7 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR1 = 50 ΩR2 = 60 ΩC = 4.7 µF
|Z| = Ω
5.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 483 W3.5 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 3.5 A 和 483 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 230 VI = 3.5 AP = 483 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求所需电容 C。

P = 35 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.707150 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 50 kHz 谐振，Q = 5。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 50 kHzQ = 5
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 1 µFR = 5 ΩL = 2.2 mH

一个充电的 1 µF 电容器通过总串联电阻为 5 Ω 的 2.2 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 2.2 mHC = 1 µFR = 5 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M37 kW, η = 88%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 88%cos φ = 0.88VL = 415 V
IL = A
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 100 Ωt = 0L22 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 1.5 AR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 4.7 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 15.6 V？求 t。

Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 100 µFvC(0) = 12 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAIs​2.5 ABRL​25 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 25 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VIs = 2.5 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩRL = 25 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−60−40−20020ω (rad/s)ω = 1

求 G(s) = 1540/((s + 11)(s + 14)) 在 ω = 1 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 1540/((s + 11)(s + 14))ω = 1 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−100−80−60−40−20020ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4))。 求给出 20 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4))GM = 20 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: a = 0.647

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2.5·cos(−75°) = 0.647
b = 2.5·sin(−75°) = −2.415

直角坐标形式

z = 0.647 − j2.415
a = 0.647

答案

a = 0.647
2.复数

答案: r = 1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −1 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 1²) = z² + 2z + 2

提取二次因式

z³ + z² − 2 = (z² + 2z + 2)(z − 1)

实根

r = 1

答案

r = 1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −2 + 1 = −1 = −(1)。

3.交流阻抗和相量

答案: C = 50.66 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.002) = 50.66 µF

答案

C = 50.66 µF
4.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 88.76 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 33.62 − j29.78 Ω

总阻抗

Z = 50 + 33.62 − j29.78 = 83.62 − j29.78 Ω
|Z| = √(83.62² + 29.78²) = 88.76 Ω

答案

|Z| = 88.76 Ω
5.交流功率和功率因数

答案: X = 52.57 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 483/3.5² = 39.43 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 230/3.5 = 65.71 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(65.71² − 39.43²) = 52.57 Ω

答案

X = 52.57 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: C = 1763 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(53.13°) = 46.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18.19°) = 11.5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 35.16 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 35163/(2π·60·230²) = 1763 µF

答案

C = 1763 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 45.25 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·5²)) = 1.005

较低的半功率频率

f1 = 50000·(1.005 − 0.1) = 45249 Hz = 45.25 kHz

答案

f1 = 45.25 kHz

较高的是 f₂ = 55.25 kHz；检验：f₂ − f₁ = 10 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 2.07

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.0022·ln 2/5 = 0.00061 s

周期数

n = t·f0 = 0.00061·3393 = 2.07

答案

n = 2.07

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 9.381。

9.三相电

答案: IL = 66.47 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.88 = 42.05 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 42045/(√3·415·0.88) = 66.47 A

答案

IL = 66.47 A
10.三相电

答案: QC = 40.86 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 40.86 kvar

答案

QC = 40.86 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.01592 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms

电流的衰减

i(t) = 1.5·e−1/0.22 = 0.01592 A

答案

i = 0.01592 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 167.6 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 24 + (12 − 24)·e−t/τ

求解时间

15.6 = 24 + (−12)·e−t/τ → e−t/τ = (15.6 − 24)/(12 − 24) = 0.7
t = τ·ln((12 − 24)/(15.6 − 24)) = 470·ln(1.429) = 167.6 ms

答案

t = 167.6 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.1875 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 12 = 13.71 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·3/(4+3) = 2.571 V
IN​0.1875 ARth​13.71 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 2.571/13.71 = 0.1875 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = −1.125 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 20 = 23.53 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.235 + (−2.5)·3.529 = −4.588 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −4.588 + (−2.5)·20 = −54.59 V
Rth​ = 23.53 Ω−+Vth​54.59 VRL​25 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −54.59/(23.53 + 25) = −1.125 A
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 19.94 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j1)| = 1540/(√(1² + 11²)·√(1² + 14²)) = 1540/(11.05·14.04) = 9.934

结果

20·log₁₀(9.934) = 19.94 dB

答案

|G(jω)| = 19.94 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 8.4

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/3)·(ω/4) = 1 → ω180 = √(3·4) = 3.464 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 16)) = K/(3·4·(3 + 4)) = K/84

所需增益

84/K = 1020/20 = 10
K = 84/10 = 8.4

答案

K = 8.4

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