电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

把 z = 8∠−155° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 8θ = −155°
a =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ − 2z² − 6z + 72 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j3。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j3
r =
3.交流阻抗和相量中等
230 V100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 22 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
24 V60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
400 V121 kW, 0.85229 kW, 0.8I = ?

两个负载并联接在 400 V 的单相电源上：一个 21 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载，以及一个 29 kW、功率因数为 0.8（超前）的负载。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 400 VP1 = 21 kW, pf1 = 0.85 滞后P2 = 29 kW, pf2 = 0.8 超前
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求所需电容 C。

P = 20 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.707150 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 50 kHz 谐振，Q = 4。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 50 kHzQ = 4
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?47 µHC

一个串联谐振电路使用 47 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 10 kHz？

L = 47 µHBW = 10 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M22 kW, η = 94%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 22 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 22 kWη = 94%cos φ = 0.88VL = 415 V
IL = A
10.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 150 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 33 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 10 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 4.7 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 4 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。 已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 5 VVth = 4 VT = 200 msR = 4.7 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAIs​2 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 5 VIs = 2 AR1 = 25 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 4.7 nFR = 4.7 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 4.7 kΩ, C = 4.7 nF。输入为3.6 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 4.7 kΩC = 4.7 nFf = 3.6 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)11101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 1300/(s(s + 10))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 1300/(s(s + 10))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: a = −7.25

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 8·cos(−155°) = −7.25
b = 8·sin(−155°) = −3.381

直角坐标形式

z = −7.25 − j3.381
a = −7.25

答案

a = −7.25
2.复数

答案: r = −4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 3²) = z² − 6z + 18

提取二次因式

z³ − 2z² − 6z + 72 = (z² − 6z + 18)(z + 4)

实根

r = −4

答案

r = −4

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + (−4) = 2 = −(−2)。

3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.283

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 157.1 Ω, XC = 72.34 Ω

阻抗

|Z| = √(25² + (84.74)²) = 88.35 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 25/88.35 = 0.283
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.283
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.05064 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.25 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−470.1)²) = 473.9 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/473.9 = 0.05064 A

答案

I = 0.05064 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 126.9 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 21·tan(arccos 0.85) = 13.01 kvar
Q2 = −29·tan(arccos 0.8) = −21.75 kvar

总计

P = 21 + 29 = 50 kW
Q = 13.01 + (−21.75) = −8.735 kvar
S = √(50² + (−8.735)²) = 50.76 kVA

总电流

I = S/V = 50757/400 = 126.9 A

答案

I = 126.9 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 1003 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53.13°) = 26.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.15 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 18147/(2π·50·240²) = 1003 µF

答案

C = 1003 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 44.14 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·4²)) = 1.008

较低的半功率频率

f1 = 50000·(1.008 − 0.125) = 44139 Hz = 44.14 kHz

答案

f1 = 44.14 kHz

较高的是 f₂ = 56.64 kHz；检验：f₂ − f₁ = 12.5 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 2.953 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·4.7 × 10⁻⁵·10000 = 2.953 Ω

答案

R = 2.953 Ω
9.三相电

答案: IL = 37 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 22/0.94 = 23.4 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23404/(√3·415·0.88) = 37 A

答案

IL = 37 A
10.三相电

答案: Cph = 179.1 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.7) = 150·1.02 = 153 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.9) = 150·0.4843 = 72.65 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 80.38 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 26794/(314.2·690²) = 179.1 µF

答案

Cph = 179.1 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1916 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0.303 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.303·(1 − e−1/1) = 0.1916 A

答案

i = 0.1916 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 26.44 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

4 = 5·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 4))
τ = 200/1.609 = 124.3 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 124.3/4.7 = 26.44 µF

答案

C = 26.44 µF
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 15 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 12 = 16 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·8/(8+8) = 15 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 13.59 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·4/(25+4) = 3.448 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.448 + 3 = 6.448 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0.6897 + 2·3.448 = 7.586 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7.586 + 2·3 = 13.59 V
15.伯德图与裕度

答案: φ = 63.45 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(4700·4.7 × 10⁻⁹) = 45269 rad/s
fc = 7205 Hz → f/fc = 3600/7205 = 0.4997

相位

φ = 90° − atan(0.4997) = 63.45°

答案

φ = 63.45°
16.伯德图与裕度

答案: PM = 15.79 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 100ω² − 1.69 × 10⁶ = 0
ω² = (−100 + √(10000 + 4·1.69 × 10⁶))/2 = 1251
ωc = 35.37 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(35.37/10) = −164.2°
PM = 180° + ∠L = 15.79°

答案

PM = 15.79°

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