电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−344−4−455−5−566−6−677−7−788−8−8zABCD

图中显示 z = −3 − j3。已知 w = 2∠−90°，点选表示 z·w 的点。

z = −3 − j3w = 2∠−90°
  1. 1A (6 − j6)
  2. 2B (−3 + j3)
  3. 3C (−6 − j6)
  4. 4D (−6 + j6)
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ + 11z² + 43z + 65 = 0 的一个根为 z₁ = −3 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −3 + j2
r =
3.交流阻抗和相量中等
100 V500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 2 mHC = 0.22 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 2 mH，C = 0.22 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 2 mHC = 0.22 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
P = 9 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 9 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求线路电流 I。

P = 9 kWpf = 0.6V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
230 V60 Hz负载27 kW, 0.8C330 µFI

一个单相负载从 230 V、60 Hz 的电源吸取 27 kW，功率因数为 0.8（滞后）。一个 330 µF 的电容与负载并联。 求电源看到的新功率因数 cos φ。

P = 27 kWpf1 = 0.8V = 230 Vf = 60 HzC = 330 µF
cos φ =
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V1 Ω220 µH220 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 1 Ω，L = 220 µH，C = 220 nF。求它的品质因数 Q。

R = 1 ΩL = 220 µHC = 220 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 470 nFR = 20 ΩL = 47 mH

一个充电的 470 nF 电容器通过总串联电阻为 20 Ω 的 47 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 47 mHC = 470 nFR = 20 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VNZ = 4 + j3 Ω每相

一个每相阻抗为 4 + j3 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 4 + j3 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 20 ΩL47 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 6 VR = 20 ΩL = 47 mH
W(∞) = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 VR1​ = 22 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 闭合L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.764 A？求 t。

Vs = 24 VR1 = 22 ΩR2 = 33 ΩL = 68 mH
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​1.5 ABRL​30 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 30 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VIs = 1.5 AR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 15 ΩRL = 30 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 2 mHC = 2.2 µFR = 1 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 1 Ω 两端，其中 L = 2 mH，C = 2.2 µF。 求 −3 dB 带宽 BW，单位为 Hz。

R = 1 ΩL = 2 mHC = 2.2 µF
BW = Hz
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)11101010010010001000−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 400/(s(s + 10))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 400/(s(s + 10))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: D (−6 + j6)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

该点

z·w = −6 + j6 → D

答案

D (−6 + j6)
2.复数

答案: r = −5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −3 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

提取二次因式

z³ + 11z² + 43z + 65 = (z² + 6z + 13)(z + 5)

实根

r = −5

答案

r = −5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −6 + (−5) = −11 = −(11)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 3.584 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (12.39)²) = 27.9 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/27.9 = 3.584 A

答案

I = 3.584 A
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 19.07

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.002·0.22·10⁻⁶)) = 7587 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.002/(0.22·10⁻⁶)) = 19.07

答案

Q = 19.07
5.交流功率和功率因数

答案: I = 37.5 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 9000/(400·0.6) = 37.5 A

答案

I = 37.5 A
6.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.8922

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 27·tan(arccos 0.8) = 20.25 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·330·10⁻⁶ = 6581 var = 6.581 kvar
Q2 = 20.25 − 6.581 = 13.67 kvar

新的视在功率

S2 = √(27² + 13.67²) = 30.26 kVA

新的功率因数

cos φ = P/S2 = 27/30.26 = 0.8922

答案

cos φ = 0.8922
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 31.62

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.00022/2.2 × 10⁻⁷) = 31.62 Ω

品质因数

Q = 31.62/1 = 31.62

答案

Q = 31.62

谐振频率为 22.88 kHz，所以 BW = f₀/Q = 723.4 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 3.489

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.047·ln 2/20 = 0.003258 s

周期数

n = t·f0 = 0.003258·1071 = 3.489

答案

n = 3.489

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 15.81。

9.三相电

答案: P = 27.56 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 415/√3 = 239.6 V

相电流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
Iph = 239.6/5 = 47.92 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·47.92²·4 = 27.56 kW

答案

P = 27.56 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 252.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.72) = 60·0.9639 = 57.83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 45.65 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15216/(377·400²) = 252.3 µF

答案

Cph = 252.3 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 2.115 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0.3 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·0.3² = 2.115 mJ

答案

W(∞) = 2.115 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 2.146 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(22 + 33) = 0.4364 A
i(∞) = 24/22 = 1.091 A
τ = L/R = 68/22 = 3.091 ms
i(t) = 1.091 + (0.4364 − 1.091)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.764 − 1.091)/(0.4364 − 1.091) = 0.4994
t = 3.091·ln(2.002) = 2.146 ms

答案

t = 2.146 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.8 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 2 = 6 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·20/(5+20) = 4.8 V
IN​0.8 ARth​6 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 4.8/6 = 0.8 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.9 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·30/(10+30) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 15 = 22.5 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13.5 + 1.5·7.5 = 24.75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24.75 + 1.5·15 = 47.25 V
Rth​ = 22.5 Ω+−Vth​47.25 VRL​30 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 47.25/(22.5 + 30) = 0.9 A
15.伯德图与裕度

答案: BW = 79.58 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.002·2.2 × 10⁻⁶) = 15076 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 2399 Hz

带宽

BW = R/L = 1/0.002 = 500 rad/s = 79.58 Hz

答案

BW = 79.58 Hz
16.伯德图与裕度

答案: PM = 28.02 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 100ω² − 160000 = 0
ω² = (−100 + √(10000 + 4·160000))/2 = 353.1
ωc = 18.79 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(18.79/10) = −152°
PM = 180° + ∠L = 28.02°

答案

PM = 28.02°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2