电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6θz

把 z = −3 − j6 写成指数形式 r·ejθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −3 − j6
θ = rad
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1z₁z₂

z³ + 3z² + 4z + 2 = 0 的一个根为 z₁ = −1 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −1 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
230 V500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 20 ΩL = 5 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 5 mH，C = 2.2 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 5 mHC = 2.2 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
P = 6 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 6 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 6 kWpf = 0.6V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
120 V60 HzRs​ = 4 ΩXs​ = j3 ΩZL​ = ?

一个 120 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 4 + j3 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 4 + j3 Ω
Pmax = W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 0.1 µHC = 10 µF

在 L = 0.1 µH、C = 10 µF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 0.1 µHC = 10 µF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?8 kHz8.8 kHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 8 kHz 和 8.8 kHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 8 kHzf2 = 8.8 kHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M37 kW, η = 94%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 94%cos φ = 0.88VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 100 Ωt = 0L68 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 1.5 AR = 100 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vR = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 250 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 15 Vt = 250 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩARL​15 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩRL = 15 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAIs​2 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 25 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 100 nFR = 4.7 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 4.7 kΩ, C = 100 nF。输入为680 Hz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 4.7 kΩC = 100 nFf = 680 Hz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 15/(s(s + 5))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 15/(s(s + 5))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: θ = −2.034 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(9 + 36) = 6.708

以弧度表示的辐角

θ = −116.6° = −116.6·π/180 = −2.034 rad

指数形式

z = 6.708·e−j2.034

答案

θ = −2.034 rad
2.复数

答案: r = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −1 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 1²) = z² + 2z + 2

提取二次因式

z³ + 3z² + 4z + 2 = (z² + 2z + 2)(z + 1)

实根

r = −1

答案

r = −1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −2 + (−1) = −3 = −(3)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 5.331 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (31)²) = 43.14 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/43.14 = 5.331 A

答案

I = 5.331 A
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 2.384

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.005·2.2·10⁻⁶)) = 1517 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.005/(2.2·10⁻⁶)) = 2.384

答案

Q = 2.384
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 8 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

无功功率

Q = P·tan φ = 6·1.333 = 8 kvar

答案

Q = 8 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 900 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 4 − j3 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 120/8 = 15 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·4) = 900 W

答案

Pmax = 900 W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 1.571 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(1 × 10⁻⁷·1 × 10⁻⁵) = 6.283 µs

四分之一周期

t = T/4 = 1.571 µs

答案

t = 1.571 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 10.49

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(8000·8800) = 8390 Hz

带宽

BW = 8800 − 8000 = 800 Hz

品质因数

Q = 8390/800 = 10.49

答案

Q = 10.49
9.三相电

答案: IL = 64.56 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.94 = 39.36 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39362/(√3·400·0.88) = 64.56 A

答案

IL = 64.56 A
10.三相电

答案: Cph = 150.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.78) = 60·0.8023 = 48.14 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 22.58 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 7526/(314.2·398.4²) = 150.9 µF

答案

Cph = 150.9 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 34.47 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0.68 ms

电流的衰减

i(t) = 1.5·e−1/0.68 = 0.3447 A
vR = R·i = 100·0.3447 = 34.47 V

答案

vR = 34.47 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 13.76 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 12 + (15 − 12)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(250) = 12 + (3)·e−250/470 = 13.76 V

答案

vC = 13.76 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.6575 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 6 = 9.333 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·10/(5+10) = 16 V
Rth​ = 9.333 Ω+−Vth​16 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 16/(9.333 + 15) = 0.6575 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 2.15 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·10/(25+10) = 7.143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.143 + 10 = 17.14 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.571 + 2·7.143 = 16.86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.86 + 2·10 = 36.86 V
IN​2.15 ARth​17.14 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 36.86/17.14 = 2.15 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = 26.47 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(4700·1 × 10⁻⁷) = 2128 rad/s
fc = 338.6 Hz → f/fc = 680/338.6 = 2.008

相位

φ = 90° − atan(2.008) = 26.47°

答案

φ = 26.47°
16.伯德图与裕度

答案: PM = 62.07 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 25ω² − 225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·225))/2 = 7.026
ωc = 2.651 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(2.651/5) = −117.9°
PM = 180° + ∠L = 62.07°

答案

PM = 62.07°

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