电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

已知 z₁ = 5∠30° 和 z₂ = 0.5∠80°，求 w = z₁·z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 5∠30°z₂ = 0.5∠80°
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = 1 − j√3 时 z⁸ 的实部。

z = 1 − j√3n = 8
Re(z⁸) =
3.交流阻抗和相量中等
50 V60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
12 V50 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 39 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 39 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 39 kWpf = 0.75V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
240 V60 Hz负载10 kW, 0.75C150 µFI = ?

一个单相负载从 240 V、60 Hz 的电源吸取 10 kW，功率因数为 0.75（滞后）。一个 150 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 10 kWpf1 = 0.75V = 240 Vf = 60 HzC = 150 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 100 µHC = 22 nF

在 L = 100 µH、C = 22 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 100 µHC = 22 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?22 mHC

一个串联谐振电路使用 22 mH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 50 kHz？

L = 22 mHBW = 50 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VNZ = 6 + j8 Ω每相

一个每相阻抗为 6 + j8 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 6 + j8 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 15 Ωt = 0L22 mHi(t)

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vR = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 100 kΩC?+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9.48 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。 已知 R = 100 kΩ，求所需的电容 C。

Vs = 15 VVth = 9.48 VT = 100 msR = 100 kΩ
C = µF
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 30 VIs = 1 AR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 4

求 G(s) = 27(s + 14)/(s(s + 7)) 在 ω = 4 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 27(s + 14)/(s(s + 7))ω = 4 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 22/(s(s + 2)(s + 7))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 22/(s(s + 2)(s + 7))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: θ = 110 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 5 · 0.5 = 2.5
θ = 30° + 80° = 110°

辐角

θ = 110°

答案

θ = 110°
2.复数

答案: Re(z⁸) = −128

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

棣莫弗定理

z⁸ = (2)⁸∠−480° = 256∠−120°

直角坐标形式

z⁸ = 256·(cos −120° + j sin −120°) = −128 − j221.7
Re(z⁸) = −128

答案

Re(z⁸) = −128
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.2012 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−227.6)²) = 248.6 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/248.6 = 0.2012 A

答案

I = 0.2012 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 12.47 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−138.4)²) = 139.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/139.2 = 0.0862 A

电容电压

VC = I·XC = 0.0862·144.7 = 12.47 V

答案

VC = 12.47 V
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 34.39 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

无功功率

Q = P·tan φ = 39·0.8819 = 34.39 kvar

答案

Q = 34.39 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: I = 47.68 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 10·tan(arccos 0.75) = 8.819 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·150·10⁻⁶ = 3257 var = 3.257 kvar
Q2 = 8.819 − 3.257 = 5.562 kvar

新的视在功率

S2 = √(10² + 5.562²) = 11.44 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 11443/240 = 47.68 A

答案

I = 47.68 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 2.33 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(1 × 10⁻⁴·2.2 × 10⁻⁸) = 9.319 µs

四分之一周期

t = T/4 = 2.33 µs

答案

t = 2.33 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 6912 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.022·50000 = 6912 Ω

答案

R = 6912 Ω
9.三相电

答案: P = 9.6 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 400/√3 = 230.9 V

相电流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 230.9/10 = 23.09 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·23.09²·6 = 9.6 kW

答案

P = 9.6 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 241.8 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.8) = 80·0.75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 43.76 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14585/(377·400²) = 241.8 µF

答案

Cph = 241.8 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 15.17 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e−1/1.467 = 1.011 A
vR = R·i = 15·1.011 = 15.17 V

答案

vR = 15.17 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: C = 1 µF

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

9.48 = 15·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 9.48))
τ = 100/0.9997 = 100 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 100/100 = 1 µF

答案

C = 1 µF
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 10 = 14 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·8/(8+8) = 6 V
14.戴维南和诺顿

答案: IN = −0.2941 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 25 = 28.33 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 20 + (−1)·3.333 = 16.67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.67 + (−1)·25 = −8.333 V
IN​0.2941 ARth​28.33 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = −8.333/28.33 = −0.2941 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −103.8 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(4/14) − 90° − atan(4/7) = 15.95° − 90° − 29.74°

结果

∠G(j4) = −103.8°

答案

∠G(jω) = −103.8°
16.伯德图与裕度

答案: GM = 15.16 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(2·7) = 3.742 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 49)) = K/(2·7·(2 + 7)) = K/126

增益裕度

GM = 20·log₁₀(126/22) = 15.16 dB

答案

GM = 15.16 dB

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