电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂w

已知 z₁ = 1.5∠125° 和 z₂ = 2∠−50°，求 w = z₁·z₂ 的虚部。

z₁ = 1.5∠125°z₂ = 2∠−50°
Im(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₀z₁z₂z₃z₄z₅

n = 6、w = 729∠−60° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 5。求 z₁ 的实部。

w = 729∠−60°n = 6k = 1
Re(z₁) =
3.交流阻抗和相量中等
24 V200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
12 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 0.1 µF

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0.1 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 15 kWQSφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.8（滞后）。 求线路电流 I。

P = 15 kWpf = 0.8V = 230 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
12 V1000 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

一个 12 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 8 + j15 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

Vs = 12 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j15 Ω
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 4.7 mHC = 10 pF

在 L = 4.7 mH、C = 10 pF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 4.7 mHC = 10 pF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?100 µHC

一个串联谐振电路使用 100 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 10 kHz？

L = 100 µHBW = 10 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 100 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 100 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 100 Acos φ = 0.7
P = kW
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 50 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 20 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = ?C100 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.2 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。 已知 C = 100 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 12 VVth = 7.2 VT = 500 msC = 100 µF
R = kΩ
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 30 VIs = 1.5 AR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩRL = 4 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 2 mHC = 0.47 µFR = 20 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 20 Ω 两端，其中 L = 2 mH，C = 0.47 µF。 求品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 2 mHC = 0.47 µF
Q =
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.010.010.10.1111010−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 1.1/(s(s + 1))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 1.1/(s(s + 1))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: Im(w) = 2.898

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 1.5 · 2 = 3
θ = 125° + (−50)° = 75°

直角坐标形式

Re(w) = 3·cos(75°) = 0.7765
Im(w) = 3·sin(75°) = 2.898
Im(w) = 2.898

答案

Im(w) = 2.898
2.复数

答案: Re(z₁) = 1.928

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

7291/6 = 3

根的辐角

θ₁ = (−60° + 360°·1)/6 = 50°

直角坐标形式

z₁ = 3·(cos 50° + j sin 50°) = 1.928 + j2.298
Re(z₁) = 1.928

答案

Re(z₁) = 1.928

6 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 60°。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 81.71 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (171.6)²) = 173.4 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(171.6/25) = 81.71°

答案

φ = 81.71°
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 339.4 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·0.1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 12/50 = 0.24 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 7071·0.2 = 1414 Ω
VL = I·XL = 0.24·1414 = 339.4 V

答案

VL = 339.4 V

这是电源电压的 Q = 28.28 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 81.52 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 15000/(230·0.8) = 81.52 A

答案

I = 81.52 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 10.61 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 8 − j15 Ω

电容

XC = 15 Ω → C = 1/(2π·1000·15) = 10.61 µF

答案

C = 10.61 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 0.3405 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.0047·1 × 10⁻¹¹) = 1.362 µs

四分之一周期

t = T/4 = 0.3405 µs

答案

t = 0.3405 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 6.283 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·1 × 10⁻⁴·10000 = 6.283 Ω

答案

R = 6.283 Ω
9.三相电

答案: P = 25.22 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·100 = 36.03 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 36.03·0.7 = 25.22 kW

答案

P = 25.22 kW
10.三相电

答案: Cph = 908.1 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.72) = 60·0.9639 = 57.83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 45.65 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15216/(314.2·230.9²) = 908.1 µF

答案

Cph = 908.1 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2083 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms
i(∞) = Vs/R = 20/50 = 0.4 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.4·(1 − e−1/1.36) = 0.2083 A

答案

i = 0.2083 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: R = 5.457 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

7.2 = 12·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 7.2))
τ = 500/0.9163 = 545.7 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 545.7/100 = 5.457 kΩ

答案

R = 5.457 kΩ
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 7.143 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.714 + 3 = 8.714 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·20/(8+20) = 7.143 V
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 0.01826 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.077 + 10 = 13.08 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18.46 + (−1.5)·3.077 = 13.85 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13.85 + (−1.5)·10 = −1.154 V
Rth​ = 13.08 Ω−+Vth​1.154 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −1.154/(13.08 + 4) = −0.06757 A
PL = IL²·RL = −0.06757²·4 = 0.01826 W
15.伯德图与裕度

答案: Q = 3.262

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.002·4.7 × 10⁻⁷) = 32616 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 5191 Hz

品质因数

BW = R/L = 20/0.002 = 10000 rad/s = 1592 Hz
Q = ω₀/BW = 32616/10000 = 3.262

答案

Q = 3.262
16.伯德图与裕度

答案: PM = 49.92 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 1ω² − 1.21 = 0
ω² = (−1 + √(1 + 4·1.21))/2 = 0.7083
ωc = 0.8416 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(0.8416/1) = −130.1°
PM = 180° + ∠L = 49.92°

答案

PM = 49.92°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2