电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
能量: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流: I_max = V₀√(C/L)
品质因数: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半功率频率: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减: e^−Rt/(2L)

方法

先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.复数中等

把 z = 8 − j 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = 8 − j

θ = rad

2.复数困难

求 (−3 − j2)⁴ 的虚部。

z = −3 − j2n = 4

Im(z⁴) =

3.交流阻抗和相量中等

一个 L = 100 mH 的 RLC 串联电路必须在 60 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 60 HzL = 100 mH

C = µF

4.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

5.交流功率和功率因数中等

一个阻抗为 Z = 5 + j12 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。求视在功率 S。

V = 240 VZ = 5 + j12 Ω

S = VA

6.交流功率和功率因数困难

一个 50 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 25 + j3 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。求能传输给负载的最大有功功率 P_max。

V_s = 50 V (rms)f = 60 HzZ_s = 25 + j3 Ω

P_max = W

7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等

一个并联 RLC 电路的 R = 2.2 kΩ，L = 22 µH，C = 100 nF。求它的品质因数 Q。

R = 2.2 kΩL = 22 µHC = 100 nF

Q =

8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难

一个并联谐振回路由一个 220 nF 电容器和一个绕组电阻为 2 Ω 的 470 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 R_D = L/(C·r)。求 R_D，单位 kΩ。

L = 470 µHC = 220 nFr = 2 Ω

R_D = kΩ

9.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 15 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.85（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 I_L。

P_out = 15 kWη = 93%cos φ = 0.85V_L = 690 V

I_L = A

10.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 60 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 12 VR = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms

v_L = V

12.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 10 ms 时的电感电流 i。

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

13.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

14.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

15.伯德图与裕度中等

图中所示的RC 低通滤波器有R = 22 kΩ, C = 2.2 nF。输入为1.6 kHz的正弦信号。求增益 |H| = |v_out/v_in|，以 dB 表示。

R = 22 kΩC = 2.2 nFf = 1.6 kHz

|H| = dB

16.伯德图与裕度困难

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))。求给出 15 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))GM = 15 dB

K =

3溶液

1.复数

答案: θ = −0.1244 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(64 + 1) = 8.062

以弧度表示的辐角

θ = −7.125° = −7.125·π/180 = −0.1244 rad

指数形式

z = 8.062·e^−j0.1244

答案

θ = −0.1244 rad

2.复数

答案: Im(z⁴) = 120

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

逐步求幂

z² = (−3 − j2)(−3 − j2) = 5 + j12

z³ = (5 + j12)(−3 − j2) = 9 − j46

z⁴ = (9 − j46)(−3 − j2) = −119 + j120

用棣莫弗定理检验

z = 3.606∠−146.3° → z⁴ = 169∠134.8°

Im(z⁴) = 120

答案

Im(z⁴) = 120

3.交流阻抗和相量

答案: C = 70.36 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.1) = 70.36 µF

答案

C = 70.36 µF

4.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 87.61 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·22·10⁻⁶)) = 87.61 Hz

答案

f₀ = 87.61 Hz

5.交流功率和功率因数

答案: S = 4431 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18.46 A

视在功率

S = V·I = 240·18.46 = 4431 VA

答案

S = 4431 VA

6.交流功率和功率因数

答案: P_max = 25 W

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 25 − j3 Ω

最大功率

I = V_s/(2R_s) = 50/50 = 1 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 50²/(4·25) = 25 W

答案

P_max = 25 W

7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 148.3

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)。半功率频率 f₁ 与 f₂（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f₀ = √(f₁f₂)，且 f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e^−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 674200 rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 2200/(674200·2.2 × 10⁻⁵) = 148.3

答案

Q = 148.3

带宽为 1/(2πRC) = 723.4 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R_D = 1.068 kΩ

动态电阻

R_D = 0.00047/(2.2 × 10⁻⁷·2) = 1068 Ω = 1.068 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 23.11, Q²·r = 1068 Ω

答案

R_D = 1.068 kΩ

9.三相电

答案: I_L = 15.88 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 15/0.93 = 16.13 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16129/(√3·690·0.85) = 15.88 A

答案

I_L = 15.88 A

10.三相电

答案: C_ph = 274.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.65) = 60·1.169 = 70.15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 44.59 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14863/(314.2·415²) = 274.7 µF

答案

C_ph = 274.7 µF

11.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.433 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3.133 ms

i(∞) = V_s/R = 12/15 = 0.8 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−5/3.133 = 2.433 V

答案

v_L = 2.433 V

12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.431 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 15/(33 + 10) = 0.3488 A

i(∞) = 15/33 = 0.4545 A

τ = L/R = 220/33 = 6.667 ms

i(t) = 0.4545 + (0.3488 − 0.4545)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(10) = 0.4545 + (−0.1057)·e^−10/6.667 = 0.431 A

答案

i = 0.431 A

13.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.4737 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.5 + 2 = 9.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·15/(15+15) = 4.5 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 4.5/9.5 = 0.4737 A

14.戴维南和诺顿

答案: V_th = 56.67 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.667 + 10 = 12.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 4·2.667 = 16.67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16.67 + 4·10 = 56.67 V

15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.9228 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·2.2 × 10⁻⁹) = 20661 rad/s

f_c = 3288 Hz → f/f_c = 1600/3288 = 0.4866

增益

|H| = 1/√(1 + 0.4866²) = 0.8992

20·log₁₀(0.8992) = −0.9228 dB

答案

|H| = −0.9228 dB

16.伯德图与裕度

答案: K = 8.536

相位穿越

(ω/2)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·4) = 2.828 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 16)) = K/(2·4·(2 + 4)) = K/48

所需增益

48/K = 10^15/20 = 5.623

K = 48/5.623 = 8.536

答案

K = 8.536

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

电路分析（二）：交流电路：速成包

1公式与方法

复数

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

LC 谐振、Q 因数与带宽

方法

三相电

RC 和 RL 暂态

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

模

以弧度表示的辐角

指数形式

答案

逐步求幂

用棣莫弗定理检验

答案

谐振条件

答案

谐振

答案

电流

视在功率

答案

共轭匹配

最大功率

答案

谐振频率

品质因数

答案

动态电阻

用 Q 检验

答案

电输入功率

线路电流

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

每相电容

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

转折频率

增益

答案

相位穿越

相位穿越处的幅值

所需增益

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th