电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 3∠35° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 3θ = 35°
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂

z³ + z² − z + 15 = 0 的一个根为 z₁ = 1 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 1 + j2
r =
3.交流阻抗和相量中等
100 V60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
50 V500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 10 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 10 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 1440 W16 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 16 A 和 1440 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 120 VI = 16 AP = 1440 W
R = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V2 Ω10 µH470 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 2 Ω，L = 10 µH，C = 470 nF。求它的品质因数 Q。

R = 2 ΩL = 10 µHC = 470 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 22 nFr = 1 ΩL = 10 mH

一个并联谐振回路由一个 22 nF 电容器和一个绕组电阻为 1 Ω 的 10 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 10 mHC = 22 nFr = 1 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ω每相

一个每相阻抗为 24 + j18 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 120 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 20 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 10 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 VR1​ = 20 ΩR2​ = 47 Ω在 t = 0 断开L33 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.261 A？求 t。

Vs = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 47 ΩL = 33 mH
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​2.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VIs = 2.5 AR1 = 25 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)11101010010010001000−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 10

求 G(s) = 31(s + 16)/(s(s + 15)) 在 ω = 10 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 31(s + 16)/(s(s + 15))ω = 10 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 6)(s + 9))。 求给出 8 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 9))GM = 8 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = 1.721

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 3·cos(35°) = 2.457
b = 3·sin(35°) = 1.721

直角坐标形式

z = 2.457 + j1.721
b = 1.721

答案

b = 1.721
2.复数

答案: r = −3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 1 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 2²) = z² − 2z + 5

提取二次因式

z³ + z² − z + 15 = (z² − 2z + 5)(z + 3)

实根

r = −3

答案

r = −3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 2 + (−3) = −1 = −(1)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.8551 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−113)²) = 116.9 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/116.9 = 0.8551 A

答案

I = 0.8551 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 2.655 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (596.5)²) = 599.5 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/599.5 = 0.0834 A

电容电压

VC = I·XC = 0.0834·31.83 = 2.655 V

答案

VC = 2.655 V
5.交流功率和功率因数

答案: R = 5.625 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1440/16² = 5.625 Ω

答案

R = 5.625 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 26.79 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(45.57°) = 51.01 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25.84°) = 24.22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 26.79 kvar

答案

QC = 26.79 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 2.306

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(1 × 10⁻⁵/4.7 × 10⁻⁷) = 4.613 Ω

品质因数

Q = 4.613/2 = 2.306

答案

Q = 2.306

谐振频率为 73.41 kHz，所以 BW = f₀/Q = 31.83 kHz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 454.5 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.01/(2.2 × 10⁻⁸·1) = 454545 Ω = 454.5 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 674.2, Q²·r = 454545 Ω

答案

RD = 454.5 kΩ
9.三相电

答案: P = 12.8 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 400 V

相电流

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13.33 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·13.33²·24 = 12.8 kW

答案

P = 12.8 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: QC = 91.3 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.72) = 120·0.9639 = 115.7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 91.3 kvar

答案

QC = 91.3 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 4.029 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0.5 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/1.1 = 4.029 V

答案

vL = 4.029 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.4497 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 9/20 = 0.45 A
i(∞) = 9/(20 + 47) = 0.1343 A
τ = L/R = 33/67 = 0.4925 ms
i(t) = 0.1343 + (0.45 − 0.1343)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.261 − 0.1343)/(0.45 − 0.1343) = 0.4013
t = 0.4925·ln(2.492) = 0.4497 ms

答案

t = 0.4497 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 8.286 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.286 + 4 = 8.286 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 51.29 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·10/(25+10) = 7.143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.143 + 12 = 19.14 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.429 + 2.5·7.143 = 21.29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21.29 + 2.5·12 = 51.29 V
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −91.68 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(10/16) − 90° − atan(10/15) = 32.01° − 90° − 33.69°

结果

∠G(j10) = −91.68°

答案

∠G(jω) = −91.68°
16.伯德图与裕度

答案: K = 322.5

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/6)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(6·9) = 7.348 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 36)·√(ω² + 81)) = K/(6·9·(6 + 9)) = K/810

所需增益

810/K = 108/20 = 2.512
K = 810/2.512 = 322.5

答案

K = 322.5

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