电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

已知 z₁ = 2∠70° 和 z₂ = 3∠65°，求 w = z₁·z₂ 的实部。

z₁ = 2∠70°z₂ = 3∠65°
Re(w) =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

解 z² + 2z + 17 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 2q = 17
a =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 60 HzRL = ?C = 0.1 µF

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 60 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 60 HzC = 0.1 µF
L = mH
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 2 ΩL = 20 mHC = 1 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 20 mH，C = 1 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 2 ΩL = 20 mHC = 1 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
230 VZ15 + j20 ΩI

一个阻抗为 Z = 15 + j20 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 230 VZ = 15 + j20 Ω
S = VA
6.交流功率和功率因数困难
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 50 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 1 µF+−12 VL = 10 mHiL​

一个充电到 15 V 的 1 µF 电容器与一个理想的 10 mH 电感振荡。求电容器电压为 12 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 1 µFV0 = 15 VvC = 12 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V5 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 5 Ω，谐振频率为 100 kHz，带宽为 4 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 5 Ωf0 = 100 kHzBW = 4 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M75 kW, η = 94%cos φ = 0.8

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 75 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 75 kWη = 94%cos φ = 0.8VL = 415 V
IL = A
10.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 47 Ωt = 0L220 mHi(t)

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 10 ms 时的电流 i。

i(0) = 2 AR = 47 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 2.2 kΩR2​ = 10 kΩC22 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR1 = 2.2 kΩR2 = 10 kΩC = 22 µFt = 400 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩARL​5 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VIs = 1.5 AR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 10 ΩL = 1 mHvout​

图中所示的RL 高通滤波器有R = 10 Ω, L = 1 mH。输入为3.2 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 10 ΩL = 1 mHf = 3.2 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 560/(s(s + 8))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 560/(s(s + 8))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: Re(w) = −4.243

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 · 3 = 6
θ = 70° + 65° = 135°

直角坐标形式

Re(w) = 6·cos(135°) = −4.243
Im(w) = 6·sin(135°) = 4.243
Re(w) = −4.243

答案

Re(w) = −4.243
2.复数

答案: a = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 4 − 68 = −64 < 0

求根公式

z = (−2 ± j√64)/2 = −1 + j4, −1 − j4

答案

a = −1

答案

a = −1
3.交流阻抗和相量

答案: L = 70362 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·0.1·10⁻⁶) = 70362 mH

答案

L = 70362 mH
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 70.71

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.02/(1·10⁻⁶)) = 70.71

答案

Q = 70.71
5.交流功率和功率因数

答案: S = 2116 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 230/25 = 9.2 A

视在功率

S = V·I = 230·9.2 = 2116 VA

答案

S = 2116 VA
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 50.23 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(53.13°) = 66.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(18.19°) = 16.43 kvar
QC = Q1 − Q2 = 50.23 kvar

答案

QC = 50.23 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 40.5 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁶·15² = 0.0001125 J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁶·12² = 7.2 × 10⁻⁵ J

电感中的能量

WL = 4.05 × 10⁻⁵ J = 40.5 µJ

答案

WL = 40.5 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 12.73 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 5/(2π·4000) = 0.0001989 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·100000)²·0.0001989) = 1.273 × 10⁻⁸ F = 12.73 nF

答案

C = 12.73 nF

Q = f₀/BW = 25。

9.三相电

答案: IL = 138.8 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 75/0.94 = 79.79 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 79787/(√3·415·0.8) = 138.8 A

答案

IL = 138.8 A
10.三相电

答案: QC = 47.36 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 47.36 kvar

答案

QC = 47.36 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2362 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e−10/4.681 = 0.2362 A

答案

i = 0.2362 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.597 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·10/(2.2 + 10) = 9.836 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 10·22 = 220 ms

放电

vC(t) = 9.836·e−400/220 = 1.597 V

答案

vC = 1.597 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 1 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1 + 3 = 4 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·2/(2+2) = 9 V
Rth​ = 4 Ω+−Vth​9 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 9/(4 + 5) = 1 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.962 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 4 = 7.429 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.429 + 1.5·3.429 = 8.571 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8.571 + 1.5·4 = 14.57 V
IN​1.962 ARth​7.429 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 14.57/7.429 = 1.962 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.9599 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 10/0.001 = 10000 rad/s
fc = 1592 Hz → f/fc = 3200/1592 = 2.011

增益

|H| = 2.011/√(1 + 2.011²) = 0.8954
20·log₁₀(0.8954) = −0.9599 dB

答案

|H| = −0.9599 dB
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 23 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 64ω² − 313600 = 0
ω² = (−64 + √(4096 + 4·313600))/2 = 528.9
ωc = 23 rad/s

答案

ωc = 23 rad/s

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