电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4θz

把 z = 5∠−115° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 5θ = −115°
b =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ − 11z² + 44z − 60 = 0 的一个根为 z₁ = 4 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 4 + j2
r =
3.交流阻抗和相量中等
24 V1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 5 mH，C = 0.47 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
240 VZ8 + j6 ΩI

一个阻抗为 Z = 8 + j6 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
S = VA
6.交流功率和功率因数困难
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 20 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V10 kΩ10 mH220 nF

一个并联 RLC 电路的 R = 10 kΩ，L = 10 mH，C = 220 nF。求它的品质因数 Q。

R = 10 kΩL = 10 mHC = 220 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 4.7 nFr = 10 ΩL = 2.2 mH

一个并联谐振回路由一个 4.7 nF 电容器和一个绕组电阻为 10 Ω 的 2.2 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 2.2 mHC = 4.7 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 80 Acos φ = 0.9滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 80 A 的线电流，功率因数为 0.9（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 80 Acos φ = 0.9
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 12 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 V在 t = 0 断开R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩC68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µFt = 120 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 15 VIs = 1 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 1000 ΩL = 1 mHvout​

图中所示的RL 高通滤波器有R = 1000 Ω, L = 1 mH。输入为1600 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 1000 ΩL = 1 mHf = 1600 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 4)(s + 9))。 求给出 4 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 9))GM = 4 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = −4.532

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 5·cos(−115°) = −2.113
b = 5·sin(−115°) = −4.532

直角坐标形式

z = −2.113 − j4.532
b = −4.532

答案

b = −4.532
2.复数

答案: r = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 4 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 2²) = z² − 8z + 20

提取二次因式

z³ − 11z² + 44z − 60 = (z² − 8z + 20)(z − 3)

实根

r = 3

答案

r = 3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 8 + 3 = 11 = −(−11)。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 83.11 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1.592 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (124.1)²) = 125 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(124.1/15) = 83.11°

答案

φ = 83.11°
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 20.63

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.005·0.47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.005/(0.47·10⁻⁶)) = 20.63

答案

Q = 20.63
5.交流功率和功率因数

答案: S = 5760 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

视在功率

S = V·I = 240·24 = 5760 VA

答案

S = 5760 VA
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 11.06 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(41.41°) = 17.64 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(18.19°) = 6.574 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11.06 kvar

答案

QC = 11.06 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 46.9

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 21320 rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 10000/(21320·0.01) = 46.9

答案

Q = 46.9

带宽为 1/(2πRC) = 72.34 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 46.81 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.0022/(4.7 × 10⁻⁹·10) = 46809 Ω = 46.81 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 68.42, Q²·r = 46809 Ω

答案

RD = 46.81 kΩ
9.三相电

答案: P = 51.75 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·80 = 57.5 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 57.5·0.9 = 51.75 kW

答案

P = 51.75 kW
10.三相电

答案: Cph = 462.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 207.5 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 69152/(314.2·690²) = 462.3 µF

答案

Cph = 462.3 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 4.415 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−1/1 = 4.415 V

答案

vL = 4.415 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 0.3736 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 24·1/(10 + 1) = 2.182 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 1·68 = 68 ms

放电

vC(t) = 2.182·e−120/68 = 0.3736 V

答案

vC = 0.3736 V
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.3261 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.222 + 8 = 10.22 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·5/(4+5) = 3.333 V
IN​0.3261 ARth​10.22 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 3.333/10.22 = 0.3261 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.361 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 25 = 27.67 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 1·2.667 = 12.67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12.67 + 1·25 = 37.67 V
IN​1.361 ARth​27.67 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 37.67/27.67 = 1.361 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = 5.681 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 1000/0.001 = 1 × 10⁶ rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1.6 × 10⁶/159155 = 10.05

相位

φ = 90° − atan(10.05) = 5.681°

答案

φ = 5.681°
16.伯德图与裕度

答案: K = 295.3

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(4·9) = 6 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 81)) = K/(4·9·(4 + 9)) = K/468

所需增益

468/K = 104/20 = 1.585
K = 468/1.585 = 295.3

答案

K = 295.3

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