电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

求 z = −7 − j8 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −7 − j8
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ + 3z² + 50 = 0 的一个根为 z₁ = 1 + j3。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 1 + j3
r =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 60 HzRL = ?C = 0.1 µF

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 60 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 60 HzC = 0.1 µF
L = mH
4.交流阻抗和相量困难
50 V500 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
P = 38 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 38 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求线路电流 I。

P = 38 kWpf = 0.7V = 240 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求所需电容 C。

P = 50 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V22 Ω2.2 mH4.7 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 22 Ω，L = 2.2 mH，C = 4.7 nF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 22 ΩL = 2.2 mHC = 4.7 nF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V20 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 20 Ω，谐振频率为 455 kHz，带宽为 18.2 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 20 Ωf0 = 455 kHzBW = 18.2 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M90 kW, η = 91%cos φ = 0.86

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 90 kW。此负载下其效率为 91%，功率因数为 0.86（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 90 kWη = 91%cos φ = 0.86VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 150 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩC22 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 30 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 22 µFt = 30 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 4.7 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 33 µFvC(0) = 2 Vt = 400 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAIs​5 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩRL = 4 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.1110100−40−2002040ω (rad/s)ω = 2

求 G(s) = 208/((s + 2)(s + 8)) 在 ω = 2 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 208/((s + 2)(s + 8))ω = 2 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 50/(s(s + 1)(s + 8))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 50/(s(s + 1)(s + 8))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = −131.2 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −7, b = −8 → III

参考角

α = atan(8/7) = 48.81°

辐角

θ = −(180° − α) = −131.2°

答案

θ = −131.2°

极坐标形式为 z = 10.63∠−131.2°。

2.复数

答案: r = −5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 1 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 3²) = z² − 2z + 10

提取二次因式

z³ + 3z² + 50 = (z² − 2z + 10)(z + 5)

实根

r = −5

答案

r = −5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 2 + (−5) = −3 = −(3)。

3.交流阻抗和相量

答案: L = 70362 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·0.1·10⁻⁶) = 70362 mH

答案

L = 70362 mH
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.2939 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (169.5)²) = 170.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/170.1 = 0.2939 A

答案

I = 0.2939 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 226.2 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 38000/(240·0.7) = 226.2 A

答案

I = 226.2 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 2224 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(49.46°) = 58.46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(11.48°) = 10.15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 48.3 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 48304/(2π·60·240²) = 2224 µF

答案

C = 2224 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 1.592 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 22/0.0022 = 10000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1.592 kHz

答案

BW = 1.592 kHz

当 f₀ = 49.49 kHz 时，得到 Q = 31.1。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.6996 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·18200) = 0.0001749 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·455000)²·0.0001749) = 6.996 × 10⁻¹⁰ F = 0.6996 nF

答案

C = 0.6996 nF

Q = f₀/BW = 25。

9.三相电

答案: IL = 138.3 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 90/0.91 = 98.9 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 98901/(√3·480·0.86) = 138.3 A

答案

IL = 138.3 A
10.三相电

答案: Cph = 696.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.65) = 150·1.169 = 175.4 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 126.1 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 42022/(377·400²) = 696.7 µF

答案

Cph = 696.7 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 0.7062 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 10·1/(10 + 1) = 0.9091 kΩ
vC(∞) = 10·1/(10 + 1) = 0.9091 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.9091·22 = 20 ms

充电曲线

vC(t) = 0.9091·(1 − e−30/20) = 0.7062 V

答案

vC = 0.7062 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 22.33 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(400) = 24 + (−22)·e−400/155.1 = 22.33 V

答案

vC = 22.33 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 9.6 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 8 = 9.6 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 48.89 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5.217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.217 + 2 = 7.217 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.13 + 5·5.217 = 29.22 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 29.22 + 5·2 = 39.22 V
Rth​ = 7.217 Ω+−Vth​39.22 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 39.22/(7.217 + 4) = 3.496 A
PL = IL²·RL = 3.496²·4 = 48.89 W
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 19.01 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j2)| = 208/(√(2² + 2²)·√(2² + 8²)) = 208/(2.828·8.246) = 8.918

结果

20·log₁₀(8.918) = 19.01 dB

答案

|G(jω)| = 19.01 dB
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 2.828 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(1·8) = 2.828 rad/s

答案

ω180 = 2.828 rad/s

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