电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

已知 z₁ = 5∠70° 和 z₂ = 4∠−140°，求 w = z₁/z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 5∠70°z₂ = 4∠−140°
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = 1 − j√3 时 z⁷ 的实部。

z = 1 − j√3n = 7
Re(z⁷) =
3.交流阻抗和相量中等
230 V100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 15 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 15 Ω，L = 20 mH，C = 2.2 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 15 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 322 W2 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 2 A 和 322 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 230 VI = 2 AP = 322 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 45 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求新的线路电流 Inew。

P = 45 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 4.7 nF+−14.4 VL = 4.7 mHiL​

一个充电到 24 V 的 4.7 nF 电容器与一个理想的 4.7 mH 电感振荡。求电容器电压为 14.4 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 4.7 nFV0 = 24 VvC = 14.4 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V50 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 50 Ω，谐振频率为 500 kHz，带宽为 12.5 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 50 Ωf0 = 500 kHzBW = 12.5 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M55 kW, η = 91%cos φ = 0.85

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 55 kW。此负载下其效率为 91%，功率因数为 0.85（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 55 kWη = 91%cos φ = 0.85VL = 415 V
IL = A
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 15 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 10 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 4.7 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 9 V？求 t。

Vs = 12 VR = 4.7 kΩC = 10 µFvC(0) = 6 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​4 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VIs = 4 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.1111010100100−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 3

求 G(s) = 44(s + 5)/(s(s + 3)) 在 ω = 3 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 44(s + 5)/(s(s + 3))ω = 3 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)11101010010010001000−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 580/(s(s + 10))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 580/(s(s + 10))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = −150 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 5 / 4 = 1.25
θ = 70° − (−140)° = 210° → −150°

辐角

θ = −150°

答案

θ = −150°
2.复数

答案: Re(z⁷) = 64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

棣莫弗定理

z⁷ = (2)⁷∠−420° = 128∠−60°

直角坐标形式

z⁷ = 128·(cos −60° + j sin −60°) = 64 − j110.9
Re(z⁷) = 64

答案

Re(z⁷) = 64
3.交流阻抗和相量

答案: φ = −72.95 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−326.1)²) = 341.1 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−326.1/100) = −72.95°

答案

φ = −72.95°
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 6.356

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.02·2.2·10⁻⁶)) = 758.7 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.02/(2.2·10⁻⁶)) = 6.356

答案

Q = 6.356
5.交流功率和功率因数

答案: X = 82.13 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 322/2² = 80.5 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 230/2 = 115 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(115² − 80.5²) = 82.13 Ω

答案

X = 82.13 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 208.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(45.57°) = 45.91 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(25.84°) = 21.79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 24.11 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(240·0.9) = 208.3 A

答案

Inew = 208.3 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 866.3 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·4.7 × 10⁻⁹·24² = 1.354 × 10⁻⁶ J

电容器中剩余的能量

½·4.7 × 10⁻⁹·14.4² = 4.873 × 10⁻⁷ J

电感中的能量

WL = 8.663 × 10⁻⁷ J = 866.3 nJ

答案

WL = 866.3 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.1592 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 50/(2π·12500) = 0.0006366 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·500000)²·0.0006366) = 1.592 × 10⁻¹⁰ F = 0.1592 nF

答案

C = 0.1592 nF

Q = f₀/BW = 40。

9.三相电

答案: IL = 98.92 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 55/0.91 = 60.44 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 60440/(√3·415·0.85) = 98.92 A

答案

IL = 98.92 A
10.三相电

答案: Cph = 213 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 34.58 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11525/(314.2·415²) = 213 µF

答案

Cph = 213 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3295 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms
i(∞) = Vs/R = 10/15 = 0.6667 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.6667·(1 − e−1/1.467) = 0.3295 A

答案

i = 0.3295 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 32.58 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 10 µF = 47 ms
vC(t) = 12 + (6 − 12)·e−t/τ

求解时间

9 = 12 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (9 − 12)/(6 − 12) = 0.5
t = τ·ln((6 − 12)/(9 − 12)) = 47·ln(2) = 32.58 ms

答案

t = 32.58 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 4.444 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2.222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.222 + 2 = 4.222 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·4/(5+4) = 4.444 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 108.6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 25 = 26.71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.714 + 4·1.714 = 8.571 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8.571 + 4·25 = 108.6 V
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −104 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(3/5) − 90° − atan(3/3) = 30.96° − 90° − 45°

结果

∠G(j3) = −104°

答案

∠G(jω) = −104°
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 23.07 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 100ω² − 336400 = 0
ω² = (−100 + √(10000 + 4·336400))/2 = 532.2
ωc = 23.07 rad/s

答案

ωc = 23.07 rad/s

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