电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

图中显示 z = −4 − j2。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = −4 − j2w = 0.5∠−90°
  1. 1A (4 − j8)
  2. 2B (−8 − j4)
  3. 3C (2 − j4)
  4. 4D (1 − j2)
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃z₄z₅

n = 6、w = 64∠45° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 5。求 z₁ 的辐角，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

w = 64∠45°n = 6k = 1
θ₁ = °
3.交流阻抗和相量中等
230 V50 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
1 Vf0​R = 10 ΩL = 20 mHC = 0.47 µF

一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 20 mHC = 0.47 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 31 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 31 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求线路电流 I。

P = 31 kWpf = 0.6V = 240 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求所需电容 C。

P = 10 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 22 mHC = 2.2 nF

在 L = 22 mH、C = 2.2 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 22 mHC = 2.2 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?5 kHz5.25 kHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 5 kHz 和 5.25 kHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 5 kHzf2 = 5.25 kHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VNZ = 15 + j20 Ω每相

一个每相阻抗为 15 + j20 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 15 + j20 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 75 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 10 Ωt = 0L100 mHi(t)

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 20 ms 时的电流 i。

i(0) = 1 AR = 10 ΩL = 100 mHt = 20 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 VR1​ = 33 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 断开L47 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.341 A？求 t。

Vs = 15 VR1 = 33 ΩR2 = 33 ΩL = 47 mH
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩARL​20 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩRL = 20 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​0.5 ABRL​15 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 10 VIs = 0.5 AR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩRL = 15 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 100 nFR = 3.3 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 3.3 kΩ, C = 100 nF。输入为1.4 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 3.3 kΩC = 100 nFf = 1.4 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 90/(s(s + 4)(s + 5))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 90/(s(s + 4)(s + 5))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: A (4 − j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = 4 − j8 → A

答案

A (4 − j8)
2.复数

答案: θ₁ = 67.5 °

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

641/6 = 2

根的辐角

θ₁ = (45° + 360°·1)/6 = 67.5°

辐角

θ₁ = 67.5°

答案

θ₁ = 67.5°

6 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 60°。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = −85.74 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−671)²) = 672.8 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−671/50) = −85.74°

答案

φ = −85.74°
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 20.63 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.47·10⁻⁶) = 10314 rad/s
I = V/R = 1/10 = 0.1 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 10314·0.02 = 206.3 Ω
VL = I·XL = 0.1·206.3 = 20.63 V

答案

VL = 20.63 V

这是电源电压的 Q = 20.63 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 215.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 31000/(240·0.6) = 215.3 A

答案

I = 215.3 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 581.3 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(49.46°) = 11.69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11.48°) = 2.031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.661 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 9661/(2π·50·230²) = 581.3 µF

答案

C = 581.3 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 10.93 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.022·2.2 × 10⁻⁹) = 43.71 µs

四分之一周期

t = T/4 = 10.93 µs

答案

t = 10.93 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 20.49

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(5000·5250) = 5123 Hz

带宽

BW = 5250 − 5000 = 250 Hz

品质因数

Q = 5123/250 = 20.49

答案

Q = 20.49
9.三相电

答案: P = 3.84 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 400/√3 = 230.9 V

相电流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 230.9/25 = 9.238 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·9.238²·15 = 3.84 kW

答案

P = 3.84 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 733.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.72) = 75·0.9639 = 72.29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 47.64 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15879/(377·239.6²) = 733.7 µF

答案

Cph = 733.7 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1353 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

电流的衰减

i(t) = 1·e−20/10 = 0.1353 A

答案

i = 0.1353 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.493 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 15/33 = 0.4545 A
i(∞) = 15/(33 + 33) = 0.2273 A
τ = L/R = 47/66 = 0.7121 ms
i(t) = 0.2273 + (0.4545 − 0.2273)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.341 − 0.2273)/(0.4545 − 0.2273) = 0.5004
t = 0.7121·ln(1.998) = 0.493 ms

答案

t = 0.493 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.313 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 20 = 26 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·15/(10+15) = 14.4 V
Rth​ = 26 Ω+−Vth​14.4 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 14.4/(26 + 20) = 0.313 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 0.0006848 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 15 = 16.71 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.571 + (−0.5)·1.714 = 7.714 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7.714 + (−0.5)·15 = 0.2143 V
Rth​ = 16.71 Ω+−Vth​0.2143 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 0.2143/(16.71 + 15) = 0.006757 A
PL = IL²·RL = 0.006757²·15 = 0.0006848 W
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.487 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(3300·1 × 10⁻⁷) = 3030 rad/s
fc = 482.3 Hz → f/fc = 1400/482.3 = 2.903

增益

|H| = 2.903/√(1 + 2.903²) = 0.9455
20·log₁₀(0.9455) = −0.487 dB

答案

|H| = −0.487 dB
16.伯德图与裕度

答案: GM = 6.021 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/5) = 1 → ω180 = √(4·5) = 4.472 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 25)) = K/(4·5·(4 + 5)) = K/180

增益裕度

GM = 20·log₁₀(180/90) = 6.021 dB

答案

GM = 6.021 dB

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