电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 2∠25° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 2θ = 25°
a =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠120° 的根。点选它。

w = 27∠120°n = 3
  1. 1A (3∠−20°)
  2. 2B (1.5∠−80°)
  3. 3C (3∠120°)
  4. 4D (3∠−80°)
3.交流阻抗和相量中等
120 V200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 50 mH，C = 2.2 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 5 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 26 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 26 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 26 kWpf = 0.85V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 27 kWQ1​S1​φ

一台 75 kVA 的单相变压器为一个 27 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 75 kVAP1 = 27 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 1 nF+−2 VL = 1 mHiL​

一个充电到 10 V 的 1 nF 电容器与一个理想的 1 mH 电感振荡。求电容器电压为 2 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 1 nFV0 = 10 VvC = 2 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?100 mHC

一个串联谐振电路使用 100 mH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 100 kHz？

L = 100 mHBW = 100 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = 12 Acos φ = 0.82滞后

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 12 A 的线电流，功率因数为 0.82（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VIL = 12 Acos φ = 0.82
P = kW
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 2.2 kΩR2​ = 1 kΩC68 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求开关闭合后电路的时间常数 τ。

Vs = 24 VR1 = 2.2 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µF
τ = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 V在 t = 0 断开R1​ = 6.8 kΩR2​ = 10 kΩC68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 200 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR1 = 6.8 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µFt = 200 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩARL​3 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩRL = 3 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 30 VIs = 1 AR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 100 mHC = 10 µFR = 10 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 10 Ω 两端，其中 L = 100 mH，C = 10 µF。 求品质因数 Q。

R = 10 ΩL = 100 mHC = 10 µF
Q =
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 56/(s(s + 4))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 56/(s(s + 4))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: a = 1.813

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2·cos(25°) = 1.813
b = 2·sin(25°) = 0.8452

直角坐标形式

z = 1.813 + j0.8452
a = 1.813

答案

a = 1.813
2.复数

答案: D (3∠−80°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 40°, 160°, −80°

该点

D = 3∠−80°

答案

D (3∠−80°)
3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.3827

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 314.2 Ω, XC = 169.3 Ω

阻抗

|Z| = √(60² + (144.8)²) = 156.8 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 60/156.8 = 0.3827
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.3827
4.交流阻抗和相量

答案: B = 15.92 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.05·2.2·10⁻⁶)) = 479.9 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.05/(2.2·10⁻⁶)) = 30.15

带宽

B = f0/Q = 479.9/30.15 = 15.92 Hz

答案

B = 15.92 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 76.47 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 26000/(400·0.85) = 76.47 A

答案

I = 76.47 A
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 38.8 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 27·tan(arccos 0.6) = 36 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 36²) = 65.8 kW

增加的有功功率

ΔP = 65.8 − 27 = 38.8 kW

答案

ΔP = 38.8 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 48 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁹·10² = 5 × 10⁻⁸ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁹·2² = 2 × 10⁻⁹ J

电感中的能量

WL = 4.8 × 10⁻⁸ J = 48 nJ

答案

WL = 48 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 62832 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.1·100000 = 62832 Ω

答案

R = 62832 Ω
9.三相电

答案: P = 6.817 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·400·12 = 8.314 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 8.314·0.82 = 6.817 kW

答案

P = 6.817 kW
10.三相电

答案: Cph = 228.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.65) = 60·1.169 = 70.15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.9) = 60·0.4843 = 29.06 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 41.09 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 13696/(377·398.4²) = 228.9 µF

答案

Cph = 228.9 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 46.75 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 2.2·1/(2.2 + 1) = 0.6875 kΩ
vC(∞) = 24·1/(2.2 + 1) = 7.5 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.6875·68 = 46.75 ms

答案

τ = 46.75 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 10.65 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 24·10/(6.8 + 10) = 14.29 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 10·68 = 680 ms

放电

vC(t) = 14.29·e−200/680 = 10.65 V

答案

vC = 10.65 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1192 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.615 + 4 = 8.615 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·6/(20+6) = 1.385 V
Rth​ = 8.615 Ω+−Vth​1.385 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 1.385/(8.615 + 3) = 0.1192 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.556 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·15/(30+15) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 8 = 18 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 1·10 = 20 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 20 + 1·8 = 28 V
IN​1.556 ARth​18 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 28/18 = 1.556 A
15.伯德图与裕度

答案: Q = 10

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1 × 10⁻⁵) = 1000 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 159.2 Hz

品质因数

BW = R/L = 10/0.1 = 100 rad/s = 15.92 Hz
Q = ω₀/BW = 1000/100 = 10

答案

Q = 10
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 6.969 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 3136 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·3136))/2 = 48.57
ωc = 6.969 rad/s

答案

ωc = 6.969 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2