电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6θz

把 z = −6 − j5 写成指数形式 r·ejθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −6 − j5
θ = rad
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₀z₁

n = 2、w = 9∠−60° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1。求 z₀ 的辐角，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

w = 9∠−60°n = 2k = 0
θ₀ = °
3.交流阻抗和相量中等
24 V200 HzR = 15 ΩC = 47 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩC = 47 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
120 V200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
400 V113 kW, 0.85221 kW, 1I = ?

两个负载并联接在 400 V 的单相电源上：一个 13 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载，以及一台 21 kW 的加热器（功率因数为 1）。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 400 VP1 = 13 kW, pf1 = 0.85 滞后P2 = 21 kW, pf2 = 1
I = A
6.交流功率和功率因数困难
10 V1000 HzRs​ = 5 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

一个 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 5 + j30 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

Vs = 10 V (rms)f = 1000 HzZs = 5 + j30 Ω
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 220 nF+−3.75 VL = 1 mHiL​

一个充电到 5 V 的 220 nF 电容器与一个理想的 1 mH 电感振荡。求电容器电压为 3.75 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 220 nFV0 = 5 VvC = 3.75 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 47 pFr = 5 ΩL = 470 µH

一个并联谐振回路由一个 47 pF 电容器和一个绕组电阻为 5 Ω 的 470 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 470 µHC = 47 pFr = 5 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VZ = 16 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 16 + j12 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 16 + j12 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 100 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 68 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

Vs = 6 VR = 68 ΩL = 150 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。 求 t = 15 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 33 µFvC(0) = 12 Vt = 15 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAIs​3 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VIs = 3 AR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩRL = 10 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 2.2 nFR = 22 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 22 kΩ, C = 2.2 nF。输入为6.6 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 22 kΩC = 2.2 nFf = 6.6 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 32/(s(s + 8))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 32/(s(s + 8))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: θ = −2.447 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(36 + 25) = 7.81

以弧度表示的辐角

θ = −140.2° = −140.2·π/180 = −2.447 rad

指数形式

z = 7.81·e−j2.447

答案

θ = −2.447 rad
2.复数

答案: θ₀ = −30 °

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

91/2 = 3

根的辐角

θ₀ = (−60° + 360°·0)/2 = −30°

辐角

θ₀ = −30°

答案

θ₀ = −30°

2 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 180°。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 2.138 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 24/15 = 1.6 A
IX = V/XC = 24/16.93 = 1.417 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(1.6² + 1.417²) = 2.138 A

答案

I = 2.138 A
4.交流阻抗和相量

答案: I = 1.374 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (82.01)²) = 87.33 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/87.33 = 1.374 A

答案

I = 1.374 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 87.35 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 13·tan(arccos 0.85) = 8.057 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

总计

P = 13 + 21 = 34 kW
Q = 8.057 + 0 = 8.057 kvar
S = √(34² + 8.057²) = 34.94 kVA

总电流

I = S/V = 34942/400 = 87.35 A

答案

I = 87.35 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 5.305 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 5 − j30 Ω

电容

XC = 30 Ω → C = 1/(2π·1000·30) = 5.305 µF

答案

C = 5.305 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 1.203 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·2.2 × 10⁻⁷·5² = 2.75 × 10⁻⁶ J

电容器中剩余的能量

½·2.2 × 10⁻⁷·3.75² = 1.547 × 10⁻⁶ J

电感中的能量

WL = 1.203 × 10⁻⁶ J = 1.203 µJ

答案

WL = 1.203 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 2000 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 0.00047/(4.7 × 10⁻¹¹·5) = 2 × 10⁶ Ω = 2000 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 632.5, Q²·r = 2 × 10⁶ Ω

答案

RD = 2000 kΩ
9.三相电

答案: P = 20.67 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 415 V

相电流

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 415/20 = 20.75 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·20.75²·16 = 20.67 kW

答案

P = 20.67 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 315.4 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.65) = 100·1.169 = 116.9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.9) = 100·0.4843 = 48.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 68.48 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 22827/(314.2·480²) = 315.4 µF

答案

Cph = 315.4 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 10.16 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2.206 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0.08824 A

求解时间

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −2.206·ln(0.01) = 10.16 ms

答案

t = 10.16 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 11.27 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms
vC(t) = 10 + (12 − 10)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(15) = 10 + (2)·e−15/33 = 11.27 V

答案

vC = 11.27 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 23.75 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 20 = 23.75 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.979 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.8 + 4 = 8.8 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.8 + 3·4.8 = 25.2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25.2 + 3·4 = 37.2 V
Rth​ = 8.8 Ω+−Vth​37.2 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 37.2/(8.8 + 10) = 1.979 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.963 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(22000·2.2 × 10⁻⁹) = 20661 rad/s
fc = 3288 Hz → f/fc = 6600/3288 = 2.007

增益

|H| = 2.007/√(1 + 2.007²) = 0.8951
20·log₁₀(0.8951) = −0.963 dB

答案

|H| = −0.963 dB
16.伯德图与裕度

答案: PM = 65.53 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 64ω² − 1024 = 0
ω² = (−64 + √(4096 + 4·1024))/2 = 13.25
ωc = 3.641 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(3.641/8) = −114.5°
PM = 180° + ∠L = 65.53°

答案

PM = 65.53°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2