电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

图中显示 z = −4 + j3。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = −4 + j3w = 0.5∠−90°
  1. 1A (−3 − j4)
  2. 2B (−6 − j8)
  3. 3C (6 + j8)
  4. 4D (−8 + j6)
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

解 z² + 6z + 11.25 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 6q = 11.25
a =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 500 HzRL = 20 mHC = ?

一个 L = 20 mH 的 RLC 串联电路必须在 500 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 500 HzL = 20 mH
C = µF
4.交流阻抗和相量困难
12 Vf0​R = 2 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 12 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
120 VZ24 + j7 ΩI

一个阻抗为 Z = 24 + j7 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的无功功率 Q。

V = 120 VZ = 24 + j7 Ω
Q = var
6.交流功率和功率因数困难
230 V60 Hz负载3 kW, 0.6C100 µFI = ?

一个单相负载从 230 V、60 Hz 的电源吸取 3 kW，功率因数为 0.6（滞后）。一个 100 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 3 kWpf1 = 0.6V = 230 Vf = 60 HzC = 100 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.7071500 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 500 kHz 谐振，Q = 2。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 500 kHzQ = 2
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?47 µHC

一个串联谐振电路使用 47 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 100 kHz？

L = 47 µHBW = 100 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 12 Acos φ = 0.9滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 12 A 的线电流，功率因数为 0.9（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 12 Acos φ = 0.9
P = kW
10.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 68 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 15 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 VR1​ = 5 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 闭合L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 40 ms 时的电感电流 i。

Vs = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 33 ΩL = 68 mHt = 40 ms
i = A
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩARL​5 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAIs​1.5 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VIs = 1.5 AR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩRL = 3 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ω = 15

求 G(s) = 19(s + 16)/(s(s + 2)) 在 ω = 15 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 19(s + 16)/(s(s + 2))ω = 15 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 14/(s(s + 4))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 14/(s(s + 4))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: B (−6 − j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = −6 − j8 → B

答案

B (−6 − j8)
2.复数

答案: a = −3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 45 = −9 < 0

求根公式

z = (−6 ± j√9)/2 = −3 + j1.5, −3 − j1.5

答案

a = −3

答案

a = −3
3.交流阻抗和相量

答案: C = 5.066 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.02) = 5.066 µF

答案

C = 5.066 µF
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 195.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7·10⁻⁶) = 6523 rad/s
I = V/R = 12/2 = 6 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 6523·0.005 = 32.62 Ω
VL = I·XL = 6·32.62 = 195.7 V

答案

VL = 195.7 V

这是电源电压的 Q = 16.31 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 161.3 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A

无功功率

Q = I²·X = 4.8²·7 = 161.3 var

答案

Q = 161.3 var
6.交流功率和功率因数

答案: I = 15.69 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 3·tan(arccos 0.6) = 4 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·100·10⁻⁶ = 1994 var = 1.994 kvar
Q2 = 4 − 1.994 = 2.006 kvar

新的视在功率

S2 = √(3² + 2.006²) = 3.609 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 3609/230 = 15.69 A

答案

I = 15.69 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 390.4 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·2²)) = 1.031

较低的半功率频率

f1 = 500000·(1.031 − 0.25) = 390388 Hz = 390.4 kHz

答案

f1 = 390.4 kHz

较高的是 f₂ = 640.4 kHz；检验：f₂ − f₁ = 250 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 29.53 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·4.7 × 10⁻⁵·100000 = 29.53 Ω

答案

R = 29.53 Ω
9.三相电

答案: P = 7.763 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·12 = 8.626 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 8.626·0.9 = 7.763 kW

答案

P = 7.763 kW
10.三相电

答案: QC = 37.63 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 37.63 kvar

答案

QC = 37.63 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 7.599 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1.471 ms
i(∞) = Vs/R = 15/68 = 0.2206 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/1.471 = 7.599 V

答案

vL = 7.599 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.145 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 6/(5 + 33) = 0.1579 A
i(∞) = 6/5 = 1.2 A
τ = L/R = 68/5 = 13.6 ms
i(t) = 1.2 + (0.1579 − 1.2)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(40) = 1.2 + (−1.042)·e−40/13.6 = 1.145 A

答案

i = 1.145 A
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.562 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.714 + 3 = 8.714 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·20/(8+20) = 21.43 V
Rth​ = 8.714 Ω+−Vth​21.43 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 21.43/(8.714 + 5) = 1.562 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.244 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​3 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2.182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.182 + 6 = 8.182 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.636 + 1.5·2.182 = 4.909 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4.909 + 1.5·6 = 13.91 V
Rth​ = 8.182 Ω+−Vth​13.91 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 13.91/(8.182 + 3) = 1.244 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −129.3 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(15/16) − 90° − atan(15/2) = 43.15° − 90° − 82.41°

结果

∠G(j15) = −129.3°

答案

∠G(jω) = −129.3°
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 2.85 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 196 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·196))/2 = 8.125
ωc = 2.85 rad/s

答案

ωc = 2.85 rad/s

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