电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4θz

数 z = 4·e−j0.5 的角度以弧度为单位。求它的实部 a。

r = 4θ = −0.5 rad
a =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ − 7z² + 32z − 60 = 0 的一个根为 z₁ = 2 + j4。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 2 + j4
r =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 5000 HzRL = 100 mHC = ?

一个 L = 100 mH 的 RLC 串联电路必须在 5000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 5000 HzL = 100 mH
C = µF
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 15 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 15 Ω，L = 5 mH，C = 0.1 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 15 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 15 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.9（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 15 kWpf = 0.9V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
24 V1000 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

一个 24 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 8 + j15 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 24 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j15 Ω
Pmax = W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V220 Ω100 mH47 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 220 Ω，L = 100 mH，C = 47 nF。求它的带宽 BW，单位 Hz。

R = 220 ΩL = 100 mHC = 47 nF
BW = Hz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?100 mHC

一个串联谐振电路使用 100 mH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 2 kHz？

L = 100 mHBW = 2 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 30 Acos φ = 0.92滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 30 A 的线电流，功率因数为 0.92（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 30 Acos φ = 0.92
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = ?C100 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。 已知 C = 100 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 5 VVth = 3 VT = 100 msC = 100 µF
R = kΩ
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩARL​2 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩRL = 2 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​1.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VIs = 1.5 AR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 1

求 G(s) = 6(s + 15)/(s(s + 3)) 在 ω = 1 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 6(s + 15)/(s(s + 3))ω = 1 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 60/(s(s + 2)(s + 10))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 60/(s(s + 2)(s + 10))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: a = 3.51

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 4·(cos −0.5 + j sin −0.5)

分量（弧度）

a = 4·cos −0.5 = 3.51
b = 4·sin −0.5 = −1.918
a = 3.51

答案

a = 3.51
2.复数

答案: r = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 2 − j4
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 4²) = z² − 4z + 20

提取二次因式

z³ − 7z² + 32z − 60 = (z² − 4z + 20)(z − 3)

实根

r = 3

答案

r = 3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 4 + 3 = 7 = −(−7)。

3.交流阻抗和相量

答案: C = 0.01013 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0.1) = 0.01013 µF

答案

C = 0.01013 µF
4.交流阻抗和相量

答案: B = 477.5 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.005·0.1·10⁻⁶)) = 7118 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.005/(0.1·10⁻⁶)) = 14.91

带宽

B = f0/Q = 7118/14.91 = 477.5 Hz

答案

B = 477.5 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 7.265 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843

无功功率

Q = P·tan φ = 15·0.4843 = 7.265 kvar

答案

Q = 7.265 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 18 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 8 − j15 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 24/16 = 1.5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·8) = 18 W

答案

Pmax = 18 W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 350.1 Hz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 220/0.1 = 2200 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 2200/(2π) = 350.1 Hz = 350.1 Hz

答案

BW = 350.1 Hz

当 f₀ = 2.322 kHz 时，得到 Q = 6.63。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 1257 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.1·2000 = 1257 Ω

答案

R = 1257 Ω
9.三相电

答案: P = 19.84 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·30 = 21.56 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 21.56·0.92 = 19.84 kW

答案

P = 19.84 kW
10.三相电

答案: Cph = 3337 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 289.8 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 96607/(377·277.1²) = 3337 µF

答案

Cph = 3337 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.662 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0.6818 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/0.4545 = 1.662 V

答案

vL = 1.662 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: R = 1.091 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

3 = 5·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 3))
τ = 100/0.9163 = 109.1 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 109.1/100 = 1.091 kΩ

答案

R = 1.091 kΩ
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1552 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 20 = 21.2 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·3/(2+3) = 3.6 V
Rth​ = 21.2 Ω+−Vth​3.6 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 3.6/(21.2 + 2) = 0.1552 A
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = −37.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 20 = 27.5 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.75 + (−1.5)·7.5 = −7.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −7.5 + (−1.5)·20 = −37.5 V
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −104.6 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(1/15) − 90° − atan(1/3) = 3.814° − 90° − 18.43°

结果

∠G(j1) = −104.6°

答案

∠G(jω) = −104.6°
16.伯德图与裕度

答案: GM = 12.04 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/2)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(2·10) = 4.472 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 100)) = K/(2·10·(2 + 10)) = K/240

增益裕度

GM = 20·log₁₀(240/60) = 12.04 dB

答案

GM = 12.04 dB

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