电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6θz

数 z = 6·ej0.4 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 6θ = 0.4 rad
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

解 z² + 2z + 10 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = 2q = 10
b =
3.交流阻抗和相量中等
230 V60 HzR = 100 ΩL = 100 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
12 V60 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 486 W4.5 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 4.5 A 和 486 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 120 VI = 4.5 AP = 486 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 33 kWQ1​S1​φ

一台 100 kVA 的单相变压器为一个 33 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 100 kVAP1 = 33 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 220 nF+−6 VL = 47 mHiL​

一个充电到 12 V 的 220 nF 电容器与一个理想的 47 mH 电感振荡。求电容器电压为 6 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 220 nFV0 = 12 VvC = 6 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 220 pFR = 10 ΩL = 1 mH

一个充电的 220 pF 电容器通过总串联电阻为 10 Ω 的 1 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 1 mHC = 220 pFR = 10 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M55 kW, η = 95%cos φ = 0.84

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 55 kW。此负载下其效率为 95%，功率因数为 0.84（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 55 kWη = 95%cos φ = 0.84VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 120 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 100 Ωt = 0L47 mHi(t)

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 0.5 AR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms
vR = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 4.7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。 求 t = 1000 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 12 Vt = 1000 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAIs​2 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 15 VIs = 2 AR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 10 nFR = 1 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 1 kΩ, C = 10 nF。输入为80 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 1 kΩC = 10 nFf = 80 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2))。 求给出 4 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2))GM = 4 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = 2.337

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 6·(cos 0.4 + j sin 0.4)

分量（弧度）

a = 6·cos 0.4 = 5.526
b = 6·sin 0.4 = 2.337
b = 2.337

答案

b = 2.337
2.复数

答案: b = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 4 − 40 = −36 < 0

求根公式

z = (−2 ± j√36)/2 = −1 + j3, −1 − j3

答案

b = 3

答案

b = 3
3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 35.28 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 230/100 = 2.3 A
IX = V/XL = 230/37.7 = 6.101 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(2.3² + 6.101²) = 6.52 A

阻抗

|Z| = V/I = 230/6.52 = 35.28 Ω

答案

|Z| = 35.28 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 5.262 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−7.676)²) = 60.49 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/60.49 = 0.1984 A

电容电压

VC = I·XC = 0.1984·26.53 = 5.262 V

答案

VC = 5.262 V
5.交流功率和功率因数

答案: X = 11.62 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 486/4.5² = 24 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/4.5 = 26.67 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(26.67² − 24²) = 11.62 Ω

答案

X = 11.62 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 56.8 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 33·tan(arccos 0.6) = 44 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 44²) = 89.8 kW

增加的有功功率

ΔP = 89.8 − 33 = 56.8 kW

答案

ΔP = 56.8 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 11.88 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·2.2 × 10⁻⁷·12² = 1.584 × 10⁻⁵ J

电容器中剩余的能量

½·2.2 × 10⁻⁷·6² = 3.96 × 10⁻⁶ J

电感中的能量

WL = 1.188 × 10⁻⁵ J = 11.88 µJ

答案

WL = 11.88 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 47.04

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.001·ln 2/10 = 0.0001386 s

周期数

n = t·f0 = 0.0001386·339319 = 47.04

答案

n = 47.04

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 213.2。

9.三相电

答案: IL = 99.48 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 55/0.95 = 57.89 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 57895/(√3·400·0.84) = 99.48 A

答案

IL = 99.48 A
10.三相电

答案: QC = 91.3 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.72) = 120·0.9639 = 115.7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 91.3 kvar

答案

QC = 91.3 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 5.956 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms

电流的衰减

i(t) = 0.5·e−1/0.47 = 0.05956 A
vR = R·i = 100·0.05956 = 5.956 V

答案

vR = 5.956 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 10.14 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 9 + (12 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(1000) = 9 + (3)·e−1000/1034 = 10.14 V

答案

vC = 10.14 V
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.5806 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.455 + 3 = 8.455 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·12/(10+12) = 4.909 V
IN​0.5806 ARth​8.455 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 4.909/8.455 = 0.5806 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 2.049 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​3 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·3/(30+3) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 25 = 27.73 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.364 + 2·2.727 = 6.818 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6.818 + 2·25 = 56.82 V
IN​2.049 ARth​27.73 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 56.82/27.73 = 2.049 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = 11.25 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁸) = 100000 rad/s
fc = 15915 Hz → f/fc = 80000/15915 = 5.027

相位

φ = 90° − atan(5.027) = 11.25°

答案

φ = 11.25°
16.伯德图与裕度

答案: K = 3.786

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/2) = 1 → ω180 = √(1·2) = 1.414 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 4)) = K/(1·2·(1 + 2)) = K/6

所需增益

6/K = 104/20 = 1.585
K = 6/1.585 = 3.786

答案

K = 3.786

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