电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

数 z = 2.5·ej0.6 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 2.5θ = 0.6 rad
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂

z³ + z² − 15z + 25 = 0 的一个根为 z₁ = 2 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 2 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
50 V60 HzR = 15 ΩL = 100 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mH
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
24 V500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 33 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 33 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求线路电流 I。

P = 33 kWpf = 0.6V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
24 V50 HzRs​ = 4 ΩXs​ = j40 ΩZL​ = ?

一个 24 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 4 + j40 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

Vs = 24 V (rms)f = 50 HzZs = 4 + j40 Ω
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V2 Ω470 µH100 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 2 Ω，L = 470 µH，C = 100 nF。求它的品质因数 Q。

R = 2 ΩL = 470 µHC = 100 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V20 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 20 Ω，谐振频率为 50 kHz，带宽为 1 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 20 Ωf0 = 50 kHzBW = 1 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 208 VZ = 3 + j4 Ω每相

一个每相阻抗为 3 + j4 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VZ = 3 + j4 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 3.3 kΩC220 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 250 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR1 = 6.8 kΩR2 = 3.3 kΩC = 220 µFt = 250 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 6.8 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 求 t = 300 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 6.8 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 Vt = 300 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩARL​5 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAIs​0.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VIs = 0.5 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 10 mHR = 10 Ωvout​

图中所示的RL 低通滤波器有R = 10 Ω, L = 10 mH。输入为320 Hz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 10 ΩL = 10 mHf = 320 Hz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))。 求给出 2 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))GM = 2 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = 1.412

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 2.5·(cos 0.6 + j sin 0.6)

分量（弧度）

a = 2.5·cos 0.6 = 2.063
b = 2.5·sin 0.6 = 1.412
b = 1.412

答案

b = 1.412
2.复数

答案: r = −5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 2 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 1²) = z² − 4z + 5

提取二次因式

z³ + z² − 15z + 25 = (z² − 4z + 5)(z + 5)

实根

r = −5

答案

r = −5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 4 + (−5) = −1 = −(1)。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 21.7 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 50/15 = 3.333 A
IX = V/XL = 50/37.7 = 1.326 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(3.333² + 1.326²) = 3.588 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(IX/IR) = arctan(1.326/3.333) = 21.7°

答案

φ = 21.7°
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 1.005 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (753.6)²) = 760.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/760.2 = 0.03157 A

电容电压

VC = I·XC = 0.03157·31.83 = 1.005 V

答案

VC = 1.005 V
5.交流功率和功率因数

答案: I = 137.5 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 33000/(400·0.6) = 137.5 A

答案

I = 137.5 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 79.58 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 4 − j40 Ω

电容

XC = 40 Ω → C = 1/(2π·50·40) = 79.58 µF

答案

C = 79.58 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 34.28

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.00047/1 × 10⁻⁷) = 68.56 Ω

品质因数

Q = 68.56/2 = 34.28

答案

Q = 34.28

谐振频率为 23.22 kHz，所以 BW = f₀/Q = 677.3 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 3.183 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·1000) = 0.003183 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·50000)²·0.003183) = 3.183 × 10⁻⁹ F = 3.183 nF

答案

C = 3.183 nF

Q = f₀/BW = 50。

9.三相电

答案: P = 15.58 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 208 V

相电流

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
Iph = 208/5 = 41.6 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·41.6²·3 = 15.58 kW

答案

P = 15.58 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 531.5 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.78) = 250·0.8023 = 200.6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 79.49 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 26497/(314.2·398.4²) = 531.5 µF

答案

Cph = 531.5 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 2.616 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·3.3/(6.8 + 3.3) = 2.222 kΩ
vC(∞) = 20·3.3/(6.8 + 3.3) = 6.535 V

时间常数

τ = Rth·C = 2.222·220 = 488.8 ms

充电曲线

vC(t) = 6.535·(1 − e−250/488.8) = 2.616 V

答案

vC = 2.616 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 4.497 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 9 + (2 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(300) = 9 + (−7)·e−300/680 = 4.497 V

答案

vC = 4.497 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.4364 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 20 = 22.5 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·5/(5+5) = 12 V
Rth​ = 22.5 Ω+−Vth​12 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 12/(22.5 + 5) = 0.4364 A
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6.167 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 25 = 27.67 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 20 + (−0.5)·2.667 = 18.67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18.67 + (−0.5)·25 = 6.167 V
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −7.027 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 10/0.01 = 1000 rad/s
fc = 159.2 Hz → f/fc = 320/159.2 = 2.011

增益

|H| = 1/√(1 + 2.011²) = 0.4453
20·log₁₀(0.4453) = −7.027 dB

答案

|H| = −7.027 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 15.89

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/4) = 1 → ω180 = √(1·4) = 2 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 16)) = K/(1·4·(1 + 4)) = K/20

所需增益

20/K = 102/20 = 1.259
K = 20/1.259 = 15.89

答案

K = 15.89

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