电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2θz

把 z = 3∠35° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 3θ = 35°
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₀z₁z₂z₃

n = 4、w = 81∠180° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2, 3。求 z₁ 的实部。

w = 81∠180°n = 4k = 1
Re(z₁) =
3.交流阻抗和相量中等
100 V100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 47 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
120 V500 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 60 ΩC = 10 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR1 = 30 ΩR2 = 60 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
5.交流功率和功率因数中等
240 VZ6 + j8 ΩI

一个阻抗为 Z = 6 + j8 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的有功功率 P。

V = 240 VZ = 6 + j8 Ω
P = W
6.交流功率和功率因数困难
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 25 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 10 µHC = 470 nF

在 L = 10 µH、C = 470 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 10 µHC = 470 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V22 Ω470 µH1 nF20 mA

一个串联 RLC 电路（R = 22 Ω，L = 470 µH，C = 1 nF）在谐振时被驱动，电流幅值为 20 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 nJ。

R = 22 ΩL = 470 µHC = 1 nFIm = 20 mA
Ecycle = nJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 15 Acos φ = 0.9滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 15 A 的线电流，功率因数为 0.9（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 15 Acos φ = 0.9
P = kW
10.三相电困难
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 120 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4.7 kΩC68 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 25 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 6 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩC = 68 µFt = 25 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 V在 t = 0 断开R1​ = 10 kΩR2​ = 2.2 kΩC220 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR1 = 10 kΩR2 = 2.2 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩARL​15 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩRL = 15 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 36 VIs = 0.5 AR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 10

求 G(s) = 44(s + 19)/(s(s + 7)) 在 ω = 10 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 44(s + 19)/(s(s + 7))ω = 10 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 64/(s(s + 4))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 64/(s(s + 4))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: b = 1.721

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 3·cos(35°) = 2.457
b = 3·sin(35°) = 1.721

直角坐标形式

z = 2.457 + j1.721
b = 1.721

答案

b = 1.721
2.复数

答案: Re(z₁) = −2.121

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

811/4 = 3

根的辐角

θ₁ = (180° + 360°·1)/4 = 135°

直角坐标形式

z₁ = 3·(cos 135° + j sin 135°) = −2.121 + j2.121
Re(z₁) = −2.121

答案

Re(z₁) = −2.121

4 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 90°。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 63.58 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (60.39)²) = 67.43 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(60.39/30) = 63.58°

答案

φ = 63.58°
4.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 49.81 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 13.18 − j24.84 Ω

总阻抗

Z = 30 + 13.18 − j24.84 = 43.18 − j24.84 Ω
|Z| = √(43.18² + 24.84²) = 49.81 Ω

答案

|Z| = 49.81 Ω
5.交流功率和功率因数

答案: P = 3456 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

有功功率

P = I²·R = 24²·6 = 3456 W

答案

P = 3456 W
6.交流功率和功率因数

答案: C = 305.9 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(36.87°) = 18.75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6.642 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 6642/(2π·60·240²) = 305.9 µF

答案

C = 305.9 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 3.405 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(1 × 10⁻⁵·4.7 × 10⁻⁷) = 13.62 µs

四分之一周期

t = T/4 = 3.405 µs

答案

t = 3.405 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 18.95 nJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.00047·0.02² = 9.4 × 10⁻⁸ J

品质因数

Q = (1/22)·√(0.00047/1 × 10⁻⁹) = 31.16

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·9.4 × 10⁻⁸/31.16 = 1.895 × 10⁻⁸ J = 18.95 nJ
校核: ½·0.02²·22/232151 = 1.895 × 10⁻⁸ J

答案

Ecycle = 18.95 nJ
9.三相电

答案: P = 11.22 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·15 = 12.47 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 12.47·0.9 = 11.22 kW

答案

P = 11.22 kW
10.三相电

答案: Cph = 366.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.75) = 120·0.8819 = 105.8 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 66.39 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 22129/(377·400²) = 366.9 µF

答案

Cph = 366.9 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.78 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 6·4.7/(1 + 4.7) = 4.947 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.8246·68 = 56.07 ms

充电曲线

vC(t) = 4.947·(1 − e−25/56.07) = 1.78 V

答案

vC = 1.78 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.894 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 24·2.2/(10 + 2.2) = 4.328 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 2.2·220 = 484 ms

放电

vC(t) = 4.328·e−400/484 = 1.894 V

答案

vC = 1.894 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.5882 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 3 = 10.5 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·20/(12+20) = 15 V
Rth​ = 10.5 Ω+−Vth​15 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 15/(10.5 + 15) = 0.5882 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.3372 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 25 = 26.88 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 22.5 + (−0.5)·1.875 = 21.56 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21.56 + (−0.5)·25 = 9.062 V
IN​0.3372 ARth​26.88 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 9.062/26.88 = 0.3372 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −117.2 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(10/19) − 90° − atan(10/7) = 27.76° − 90° − 55.01°

结果

∠G(j10) = −117.2°

答案

∠G(jω) = −117.2°
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 7.517 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 4096 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·4096))/2 = 56.5
ωc = 7.517 rad/s

答案

ωc = 7.517 rad/s

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