电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−344−4−455−5−566−6−677−7−788−8−8zABCD

图中显示 z = −1 + j3。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = −1 + j3w = 0.5∠−90°
  1. 1A (−6 − j2)
  2. 2B (−2 + j6)
  3. 3C (6 + j2)
  4. 4D (−3 − j)
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1z₁z₂

z³ − 4z² + 6z − 4 = 0 的一个根为 z₁ = 1 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 1 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
12 V200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
2 Vf0​R = 5 ΩL = 10 mHC = 10 µF

一个 RLC 串联电路由 2 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 10 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
230 VZ6 + j8 ΩI

一个阻抗为 Z = 6 + j8 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 230 VZ = 6 + j8 Ω
S = VA
6.交流功率和功率因数困难
24 V60 HzRs​ = 25 ΩXs​ = j5 ΩZL​ = ?

一个 24 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 25 + j5 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 24 V (rms)f = 60 HzZs = 25 + j5 Ω
Pmax = W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.70715 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 5 kHz 谐振，Q = 1.5。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 5 kHzQ = 1.5
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 47 nFR = 5 ΩL = 10 mH

一个充电的 47 nF 电容器通过总串联电阻为 5 Ω 的 10 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 10 mHC = 47 nFR = 5 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VNZ = 24 + j7 Ω每相

一个每相阻抗为 24 + j7 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 200 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 33 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

Vs = 20 VR = 33 ΩL = 100 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C47 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 8.1 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。 已知 C = 47 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 9 VVth = 8.1 VT = 100 msC = 47 µF
R = kΩ
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 36 VIs = 1.5 AR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−80−60−40−2002040ω (rad/s)ω = 20

求 G(s) = 270/((s + 1)(s + 15)) 在 ω = 20 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 270/((s + 1)(s + 15))ω = 20 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 28/(s(s + 2))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 28/(s(s + 2))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: A (−6 − j2)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = −6 − j2 → A

答案

A (−6 − j2)
2.复数

答案: r = 2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 1 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 1²) = z² − 2z + 2

提取二次因式

z³ − 4z² + 6z − 4 = (z² − 2z + 2)(z − 2)

实根

r = 2

答案

r = 2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 2 + 2 = 4 = −(−4)。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 82.15 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (108.7)²) = 109.8 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(108.7/15) = 82.15°

答案

φ = 82.15°
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 12.65 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s
I = V/R = 2/5 = 0.4 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 3162·0.01 = 31.62 Ω
VL = I·XL = 0.4·31.62 = 12.65 V

答案

VL = 12.65 V

这是电源电压的 Q = 6.325 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: S = 5290 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A

视在功率

S = V·I = 230·23 = 5290 VA

答案

S = 5290 VA
6.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 5.76 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 25 − j5 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 24/50 = 0.48 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·25) = 5.76 W

答案

Pmax = 5.76 W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 3.604 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·1.5²)) = 1.054

较低的半功率频率

f1 = 5000·(1.054 − 0.3333) = 3604 Hz = 3.604 kHz

答案

f1 = 3.604 kHz

较高的是 f₂ = 6.937 kHz；检验：f₂ − f₁ = 3.333 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 20.35

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.01·ln 2/5 = 0.002773 s

周期数

n = t·f0 = 0.002773·7341 = 20.35

答案

n = 20.35

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 92.25。

9.三相电

答案: P = 6.613 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 415/√3 = 239.6 V

相电流

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 239.6/25 = 9.584 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·9.584²·24 = 6.613 kW

答案

P = 6.613 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.96，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 508 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.75) = 200·0.8819 = 176.4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.92) = 200·0.426 = 85.2 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 91.18 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 30395/(377·398.4²) = 508 µF

答案

Cph = 508 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 13.96 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms
i(∞) = Vs/R = 20/33 = 0.6061 A

求解时间

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −3.03·ln(0.01) = 13.96 ms

答案

t = 13.96 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: R = 0.924 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

8.1 = 9·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(9/(9 − 8.1))
τ = 100/2.303 = 43.43 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 43.43/47 = 0.924 kΩ

答案

R = 0.924 kΩ
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 8.696 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.609 + 3 = 5.609 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·20/(3+20) = 8.696 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = −1.2 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 4 = 5.6 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.2 + (−1.5)·1.6 = 4.8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4.8 + (−1.5)·4 = −1.2 V
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = −5.363 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j20)| = 270/(√(20² + 1²)·√(20² + 15²)) = 270/(20.02·25) = 0.5393

结果

20·log₁₀(0.5393) = −5.363 dB

答案

|G(jω)| = −5.363 dB
16.伯德图与裕度

答案: PM = 21.39 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 4ω² − 784 = 0
ω² = (−4 + √(16 + 4·784))/2 = 26.07
ωc = 5.106 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(5.106/2) = −158.6°
PM = 180° + ∠L = 21.39°

答案

PM = 21.39°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2