电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

求 z = −7 − j7 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −7 − j7
θ = °
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ − 9z² + 43z − 75 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j4。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j4
r =
3.交流阻抗和相量中等
230 V200 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 10 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
120 V200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
230 V111 kW, 0.7219 kW, 1I = ?

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 11 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载，以及一台 19 kW 的加热器（功率因数为 1）。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP1 = 11 kW, pf1 = 0.7 滞后P2 = 19 kW, pf2 = 1
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 35 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 10 mHC = 47 pF

在 L = 10 mH、C = 47 pF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 10 mHC = 47 pF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?470 µHC

一个串联谐振电路使用 470 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 10 kHz？

L = 470 µHBW = 10 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M55 kW, η = 92%cos φ = 0.86

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 55 kW。此负载下其效率为 92%，功率因数为 0.86（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 55 kWη = 92%cos φ = 0.86VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 4.7 kΩR2​ = 1 kΩC68 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 25 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR1 = 4.7 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µFt = 25 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 4.7 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 求 t = 200 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 4.7 kΩC = 100 µFvC(0) = 3 Vt = 200 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​3 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 36 VIs = 3 AR1 = 30 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)1101001000−60−40−20020ω (rad/s)ω = 15

求 G(s) = 1995/((s + 15)(s + 19)) 在 ω = 15 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 1995/((s + 15)(s + 19))ω = 15 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)11101010010010001000−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 1800/(s(s + 20))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 1800/(s(s + 20))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = −135 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −7, b = −7 → III

参考角

α = atan(7/7) = 45°

辐角

θ = −(180° − α) = −135°

答案

θ = −135°

极坐标形式为 z = 9.899∠−135°。

2.复数

答案: r = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j4
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 4²) = z² − 6z + 25

提取二次因式

z³ − 9z² + 43z − 75 = (z² − 6z + 25)(z − 3)

实根

r = 3

答案

r = 3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + 3 = 9 = −(−9)。

3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.106

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 314.2 Ω, XC = 79.58 Ω

阻抗

|Z| = √(25² + (234.6)²) = 235.9 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 25/235.9 = 0.106
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.106
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4681 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−236.1)²) = 256.4 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/256.4 = 0.4681 A

答案

I = 0.4681 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 139.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 11·tan(arccos 0.7) = 11.22 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

总计

P = 11 + 19 = 30 kW
Q = 11.22 + 0 = 11.22 kvar
S = √(30² + 11.22²) = 32.03 kVA

总电流

I = S/V = 32030/230 = 139.3 A

答案

I = 139.3 A
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 18.76 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(45.57°) = 35.71 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(25.84°) = 16.95 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.76 kvar

答案

QC = 18.76 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 1.077 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.01·4.7 × 10⁻¹¹) = 4.308 µs

四分之一周期

t = T/4 = 1.077 µs

答案

t = 1.077 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 29.53 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.00047·10000 = 29.53 Ω

答案

R = 29.53 Ω
9.三相电

答案: IL = 83.61 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 55/0.92 = 59.78 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59783/(√3·480·0.86) = 83.61 A

答案

IL = 83.61 A
10.三相电

答案: Cph = 573.2 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 34.58 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11525/(377·230.9²) = 573.2 µF

答案

Cph = 573.2 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.262 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·1/(4.7 + 1) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 20·1/(4.7 + 1) = 3.509 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.8246·68 = 56.07 ms

充电曲线

vC(t) = 3.509·(1 − e−25/56.07) = 1.262 V

答案

vC = 1.262 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 5.079 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 9 + (3 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(200) = 9 + (−6)·e−200/470 = 5.079 V

答案

vC = 5.079 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 7.714 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 6 = 7.714 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = −21.38 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·2/(30+2) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 6 = 7.875 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.25 + (−3)·1.875 = −3.375 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −3.375 + (−3)·6 = −21.38 V
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 11.79 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j15)| = 1995/(√(15² + 15²)·√(15² + 19²)) = 1995/(21.21·24.21) = 3.885

结果

20·log₁₀(3.885) = 11.79 dB

答案

|G(jω)| = 11.79 dB
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 40.14 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 400ω² − 3.24 × 10⁶ = 0
ω² = (−400 + √(160000 + 4·3.24 × 10⁶))/2 = 1611
ωc = 40.14 rad/s

答案

ωc = 40.14 rad/s

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