电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂w

已知 z₁ = 2∠125° 和 z₂ = 0.5∠80°，求 w = z₁/z₂ 的虚部。

z₁ = 2∠125°z₂ = 0.5∠80°
Im(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠120° 的根。点选它。

w = 27∠120°n = 3
  1. 1A (3∠80°)
  2. 2B (3∠−80°)
  3. 3C (3∠−110°)
  4. 4D (1.5∠−80°)
3.交流阻抗和相量中等
10 V200 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
24 V100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
120 VZ8 + j6 ΩI

一个阻抗为 Z = 8 + j6 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的有功功率 P。

V = 120 VZ = 8 + j6 Ω
P = W
6.交流功率和功率因数困难
10 V1000 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j10 ΩZL​ = ?

一个 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 2 + j10 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

Vs = 10 V (rms)f = 1000 HzZs = 2 + j10 Ω
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 2.2 nF+−4.8 VL = 10 mHiL​

一个充电到 6 V 的 2.2 nF 电容器与一个理想的 10 mH 电感振荡。求电容器电压为 4.8 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 2.2 nFV0 = 6 VvC = 4.8 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?10 kHz15 kHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 10 kHz 和 15 kHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 10 kHzf2 = 15 kHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M18.5 kW, η = 94%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 18.5 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 18.5 kWη = 94%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 6.8 kΩC220 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 50 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 6.8 kΩC = 220 µFt = 50 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 Vt = 0R = 10 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13.2 V？求 t。

Vs = 6 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 30 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAIs​4 ABRL​6 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VIs = 4 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩRL = 6 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 3.3 kΩC = 22 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 3.3 kΩ, C = 22 nF。输入为22 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 3.3 kΩC = 22 nFf = 22 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3))。 求给出 6 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3))GM = 6 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: Im(w) = 2.828

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 / 0.5 = 4
θ = 125° − 80° = 45°

直角坐标形式

Re(w) = 4·cos(45°) = 2.828
Im(w) = 4·sin(45°) = 2.828
Im(w) = 2.828

答案

Im(w) = 2.828
2.复数

答案: B (3∠−80°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3
θ = 40°, 160°, −80°

该点

B = 3∠−80°

答案

B (3∠−80°)
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 85.13 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (234.6)²) = 235.4 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(234.6/20) = 85.13°

答案

φ = 85.13°
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.3337 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−59.78)²) = 71.93 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/71.93 = 0.3337 A

答案

I = 0.3337 A
5.交流功率和功率因数

答案: P = 1152 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 120/10 = 12 A

有功功率

P = I²·R = 12²·8 = 1152 W

答案

P = 1152 W
6.交流功率和功率因数

答案: C = 15.92 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 2 − j10 Ω

电容

XC = 10 Ω → C = 1/(2π·1000·10) = 15.92 µF

答案

C = 15.92 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 14.26 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·2.2 × 10⁻⁹·6² = 3.96 × 10⁻⁸ J

电容器中剩余的能量

½·2.2 × 10⁻⁹·4.8² = 2.534 × 10⁻⁸ J

电感中的能量

WL = 1.426 × 10⁻⁸ J = 14.26 nJ

答案

WL = 14.26 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 2.449

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(10000·15000) = 12247 Hz

带宽

BW = 15000 − 10000 = 5000 Hz

品质因数

Q = 12247/5000 = 2.449

答案

Q = 2.449
9.三相电

答案: IL = 34.64 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 18.5/0.94 = 19.68 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19681/(√3·400·0.82) = 34.64 A

答案

IL = 34.64 A
10.三相电

答案: Cph = 274.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.65) = 60·1.169 = 70.15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.9) = 60·0.4843 = 29.06 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 41.09 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 13696/(314.2·398.4²) = 274.7 µF

答案

Cph = 274.7 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.002 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 1·6.8/(1 + 6.8) = 0.8718 kΩ
vC(∞) = 30·6.8/(1 + 6.8) = 26.15 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.8718·220 = 191.8 ms

充电曲线

vC(t) = 26.15·(1 − e−50/191.8) = 6.002 V

答案

vC = 6.002 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 397.3 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 6 + (30 − 6)·e−t/τ

求解时间

13.2 = 6 + (24)·e−t/τ → e−t/τ = (13.2 − 6)/(30 − 6) = 0.3
t = τ·ln((30 − 6)/(13.2 − 6)) = 330·ln(3.333) = 397.3 ms

答案

t = 397.3 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 4.182 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.182 + 2 = 4.182 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 3.69 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 30 = 32.67 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + 4·2.667 = 22.67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22.67 + 4·30 = 142.7 V
Rth​ = 32.67 Ω+−Vth​142.7 VRL​6 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 142.7/(32.67 + 6) = 3.69 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −20.07 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(3300·2.2 × 10⁻⁸) = 13774 rad/s
fc = 2192 Hz → f/fc = 22000/2192 = 10.04

增益

|H| = 1/√(1 + 10.04²) = 0.09916
20·log₁₀(0.09916) = −20.07 dB

答案

|H| = −20.07 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 6.014

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/3) = 1 → ω180 = √(1·3) = 1.732 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 9)) = K/(1·3·(1 + 3)) = K/12

所需增益

12/K = 106/20 = 1.995
K = 12/1.995 = 6.014

答案

K = 6.014

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