数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
把 −8 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？
N = −88 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1011 1011 XOR 0100 1100 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1011 1011XOR0100 1100
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 ¬(p ∧ q) 在逻辑上等价？点选它。
¬(p ∧ q)
- 1¬p ∨ ¬q
- 2¬p ∧ q
- 3¬p ∧ ¬q
- 4¬p ∨ q
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 b ∨ a; b → c; a → c。由它们可以推出哪个结论？点选它。
b ∨ ab → ca → c
- 1c
- 2¬c
- 3b
- 4b ∧ a
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 7, 8, 11, 14) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 7, 8, 11, 14)
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。
Q₀ = 0D
- 1时钟边沿 1
- 2时钟边沿 2
- 3时钟边沿 3
- 4时钟边沿 4
- 5时钟边沿 5
- 6时钟边沿 6
- 7时钟边沿 7
- 8时钟边沿 8
7.数论与模运算中等
求 45 模 67 的逆元：满足 0 < x < 67 且 45·x ≡ 1 (mod 67) 的数 x。
a = 45n = 67
45−1 mod 67 =
8.数论与模运算困难
在 {0, 1, …, 80} 中，33x ≡ 66 (mod 81) 有多少个解 N？
33x ≡ 66 (mod 81)
N =
9.算法与复杂度中等
递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？
- AO(1)
- BO(n)
- CO(log n)
- DO(n log n)
10.算法与复杂度困难
插入排序在有序输入上运行时间为 O(n)。这与比较排序的 Ω(n log n) 下界矛盾吗？
- A矛盾，因此这个下界是错的
- B矛盾，但仅对长度小于 100 的数组
- C不矛盾，因为插入排序不是比较排序
- D不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
11.数据结构中等
循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：
- A固定大小的队列
- B哈希函数
- C图的遍历
- D二叉搜索树
12.数据结构困难
红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？
- A高度至多为 2 log2(n + 1)
- B高度至多为 n / 2
- C高度恰好为 log2 n
- D高度至多为 log2 n + 1
13.图论中等
一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
4 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
为什么要在列上创建索引？
- A为了加快这些列上的插入和更新
- B为了加快这些列上的查找和连接
- C为了防止出现 NULL 值
- D为了节省磁盘空间
16.数据库与 SQL困难
什么是幻读（phantom read）？
- A读取了未提交的修改
- B一个不返回任何行的查询
- C重复执行的查询返回了另一个已提交事务插入的新行
- D读取了从未写入的数据
17.计算机网络中等
分布式拒绝服务（DDoS）攻击的特征是什么？
- A一个攻击者猜测用户的密码
- B攻击者从附近的汽车里读取未加密的 Wi-Fi 流量
- C一种病毒删除一台 PC 上的文件
- D大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
18.计算机网络困难
局域网上的攻击者发送伪造的 ARP 应答，声称自己拥有网关的 IP 地址。可能的结果是什么？
- A整个互联网上的所有 DNS 查询都失败
- B网关的 IP 地址在每台路由器上都被永久更改为攻击者的地址
- C交换机关闭其所有端口
- D受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
19.IPv4 子网划分中等
一个子网使用掩码 255.255.255.252。它有多少个可用主机地址 H？
255.255.255.252
H =
20.IPv4 子网划分困难
一台主机的地址为 172.20.151.223/22。其网络地址的第三个八位组 x 是多少？
172.20.151.223/22
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 248
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
取反加一
8 = 0000 1000
取反后: 1111 0111
+1 → 1111 1000
按无符号数读取
1111 1000₂ = 256 − 8 = 248
答案
U = 248
2.数制
答案: R = 247
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
XOR 在两位不同时得 1。
1011 1011
XOR 0100 1100
= 1111 0111
结果的值
1111 0111₂ = 247
答案
R = 247
3.命题逻辑与证明
答案: ¬p ∨ ¬q
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
用真值表检验
p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 1
p = 1, q = 0: 1 | 1 0 0 0
p = 0, q = 1: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 0: 1 | 1 0 1 1
答案
¬p ∨ ¬q
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: c
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
a = 1, b = 1, c = 1: c = 1, ¬c = 0, b = 1, b ∧ a = 1
a = 1, b = 0, c = 1: c = 1, ¬c = 0, b = 0, b ∧ a = 0
a = 0, b = 1, c = 1: c = 1, ¬c = 0, b = 1, b ∧ a = 0
结论
c (分情形证明)
答案
c
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 16
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
B′C′D′
BCD′
A′C′D′
A′BC
AB′CD
最简 SOP 形式
F = B′C′D′ + BCD′ + A′C′D′ + A′BC + AB′CD
L = 16
答案
L = 16
还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: 时钟边沿 7
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的 Q
D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。
1: D = 0 → Q = 0
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 1 → Q = 1
6: D = 1 → Q = 1
7: D = 0 → Q = 0
8: D = 0 → Q = 0
第一次从 1 变为 0
时钟边沿 7
答案
时钟边沿 7
7.数论与模运算
答案: 45−1 mod 67 = 3
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·45 (mod 67)。
r = 67, t = 0
r = 45, q = 1, t = 1
r = 22, q = 2, t = −1
r = 1, q = 22, t = 3
逆矩阵
1 ≡ 3·45 (mod 67)
x = 3
校核: 45·3 = 135 = 2·67 + 1
答案
45−1 mod 67 = 3
8.数论与模运算
答案: N = 3
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
除以最大公约数
gcd(33, 81) = 3
11x ≡ 22 (mod 27)
解化简后的同余式
11−1 ≡ 5 (mod 27) → x ≡ 2 (mod 27)
模 81 下的解
x ∈ {2, 29, 56}
N = 3
答案
N = 3
9.算法与复杂度
答案: C · O(log n)
为什么是这个答案
问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。
答案
C · O(log n)
10.算法与复杂度
答案: D · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
为什么是这个答案
该下界是说，每种比较排序在某个规模为 n 的输入上都需要大约 n log n 次比较；特殊的输入可能快得多。
答案
D · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
11.数据结构
答案: A · 固定大小的队列
为什么是这个答案
环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。
答案
A · 固定大小的队列
12.数据结构
答案: A · 高度至多为 2 log2(n + 1)
为什么是这个答案
每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。
答案
A · 高度至多为 2 log2(n + 1)
13.图论
答案: L = 23
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 47 = 2(L + 13) − 2
L = 23
答案
L = 23
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: d(F) = 7
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 4, C: 1
C (1): E: 4
B (4)
E (4): D: 18, F: 7
F (7)
D (18)
最短路径
A → C → E → F
d(F) = 7
答案
d(F) = 7
15.数据库与 SQL
答案: B · 为了加快这些列上的查找和连接
为什么是这个答案
索引（通常是 B-tree）可以加快查找，但会占用空间，并会减慢需要维护索引的插入和更新操作。
答案
B · 为了加快这些列上的查找和连接
16.数据库与 SQL
答案: C · 重复执行的查询返回了另一个已提交事务插入的新行
为什么是这个答案
当另一个事务插入满足范围条件的行时就会出现幻读；可串行化隔离级别可以防止幻读。
答案
C · 重复执行的查询返回了另一个已提交事务插入的新行
17.计算机网络
答案: D · 大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
为什么是这个答案
在 DDoS 攻击中，许多来源压垮服务器或链路，使合法用户无法得到服务。来源众多使简单的封堵很难奏效。
答案
D · 大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
18.计算机网络
答案: D · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
为什么是这个答案
ARP 欺骗用攻击者的 MAC 污染主机 ARP 缓存中网关 IP 的条目。攻击者随后可以读取、篡改或丢弃流量；动态 ARP 检测有助于防范这种攻击。
答案
D · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
19.IPv4 子网划分
答案: H = 2
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
前缀长度
255.255.255.252 = /30
可用主机数
22 − 2 = 2
答案
H = 2
20.IPv4 子网划分
答案: x = 148
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
第三个八位组中的块大小
22 = 4
该主机所在子网
网络: 172.20.148.0
广播: 172.20.151.255
答案
x = 148
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