计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −24。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −248 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1011 0110 OR 1011 0000 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1011 0110OR1011 0000

R =

3.命题逻辑与证明中等

(q → r) → (r → q) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(q → r) → (r → q)

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) 等价？点选它。

¬∃x (P(x) ∧ Q(x))

1∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (P(x) → ¬Q(x))
3∃x (P(x) → ¬Q(x))
4∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C′，I₂ = C，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = C′I₂ = CI₃ = C′

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15) + d(0, 2, 14)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15) + d(0, 2, 14)

N =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(22)，即 1 到 22 中与 22 互素的整数个数。

n = 22 = 2·11

φ(22) =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (1763, 11) 加密消息 m = 1012。求密文 c。

n = 1763e = 11m = 1012

c =

9.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for j = 1 to i: 执行 O(1) 的工作？

AO(n log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(n³)

10.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

A每个元素都必须至少比较一次
B二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
C每次比较都需要对数时间
D有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

11.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？

A4 2 5 1 3
B1 2 4 5 3
C4 5 2 3 1
D5 4 3 2 1

12.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

AO(log log n)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

13.图论中等

一个连通图有 7 个顶点和 9 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 7|E| = 9

k =

14.图论困难

长度为 3 且起点和终点都是 C 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3

N =

15.数据库与 SQL中等

哪个查询返回每个客户的订单数量？

ASELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders
BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
CSELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
DSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id

16.数据库与 SQL困难

一个表有一百万行，布尔列 is_active 中有 95% 为 TRUE。为什么对于 WHERE is_active = TRUE，优化器可能不使用 is_active 上的索引？

A不能在布尔列上创建索引
B大多数行都匹配，因此全表扫描比大量索引查找更便宜
C优化器从不在 WHERE 子句中使用索引
D索引把 TRUE 当作 NULL 处理

17.计算机网络中等

NAT（网络地址转换）主要用于：

A加密两个站点之间的流量
B让许多使用私有地址的设备共享一个公网 IP 地址
C提高网线的速度
D为本地网络中的设备把域名转换为 IP 地址

18.计算机网络困难

DNS 缓存投毒攻击的目的是：

A删除 DNS 服务器
B窃取 Wi-Fi 密码
C用流量使服务器过载，使其停止应答查询
D使解析器为某个域名存储错误的 IP 地址

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 8 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？

192.168.10.0/248 subnets

H =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.245.193/20。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.245.193/20

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 232

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

24 = 0001 1000

取反后: 1110 0111

+1 → 1110 1000

按无符号数读取

1110 1000₂ = 256 − 24 = 232

答案

U = 232

2.数制

答案: R = 182

逐位计算

OR 在至少有一位为 1 时得 1。

1011 0110

OR 1011 0000

= 1011 0110

结果的值

1011 0110₂ = 182

答案

R = 182

3.命题逻辑与证明

答案: 偶然式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

q = 1, r = 1: q → r = 1, r → q = 1, (q → r) → (r → q) = 1

q = 1, r = 0: q → r = 0, r → q = 1, (q → r) → (r → q) = 1

q = 0, r = 1: q → r = 1, r → q = 0, (q → r) → (r → q) = 0

q = 0, r = 0: q → r = 1, r → q = 1, (q → r) → (r → q) = 1

分类

(q → r) → (r → q): 1, 1, 0, 1

在 4 行中有 3 行为 1，其余为 0：偶然式。

答案

偶然式

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x (P(x) → ¬Q(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x (P(x) → ¬Q(x))

答案

∀x (P(x) → ¬Q(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC′ + AB′C + ABC′

F = 1 的行

ABC = 010, 101, 110

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD′, BC, B′C′D, A′C, AC′D, A′B′, ABD

必要质蕴涵项

CD′

N = 1

答案

N = 1

7.数论与模运算

答案: φ(22) = 10

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

22 = 2·11

欧拉函数值

φ(22) = φ(11)·φ(2) = 10·1 = 10

答案

φ(22) = 10

8.数论与模运算

答案: c = 498

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

11 = 8 + 2 + 1

1012¹ ≡ 1012 (mod 1763)

1012² ≡ 1604 (mod 1763)

D · O(n)

13.图论

答案: k = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

7 − 1 = 6

要去掉的边数

k = 9 − 6 = 3

答案

k = 3

14.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 0

D · 使解析器为某个域名存储错误的 IP 地址

19.IPv4 子网划分

答案: H = 30

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

借用的位数

2³ = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

每个子网的主机数

2⁵ − 2 = 30

答案

H = 30

20.IPv4 子网划分

答案: x = 255

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: 172.20.240.0

广播: 172.20.255.255

答案

x = 255

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