计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −68。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −688 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 0111 1101 AND 1001 0111 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0111 1101AND1001 0111

R =

3.命题逻辑与证明中等

(a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c)

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 b → a; a → c。由它们可以推出哪个结论？点选它。

b → aa → c

1c → b
2b ∧ c
3¬b → ¬c
4b → c

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C，I₁ = 1，I₂ = C′，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = CI₁ = 1I₂ = C′I₃ = 0

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 9, 13, 14) + d(6, 10, 11) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 9, 13, 14) + d(6, 10, 11)

L =

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 6 (mod 11) 和 x ≡ 11 (mod 13) 的最小正整数 x。

x ≡ 6 (mod 11)x ≡ 11 (mod 13)

x =

8.数论与模运算困难

用反复平方法求 32¹²⁹ mod 65。

a = 32k = 129n = 65

32¹²⁹ mod 65 =

9.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

AO(2ⁿ)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

10.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

AΘ(n^{log₂ 3})，约为 n^1.585
BΘ(n³)
CΘ(n log n)
DΘ(n²)

11.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

AO(1)，因为下标已知
BO(n)，因为后面的元素必须移动
CO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
DO(log n)，因为使用二分查找

12.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

A在任意位置插入元素
B以 O(1) 求中位数
C对数组排序和二分查找
D前缀和查询和单个元素更新

13.图论中等

一个连通图有 14 个顶点和 24 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 14|E| = 24

k =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3

15.数据库与 SQL中等

哪个查询列出从未下过订单的客户？

ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
BSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
CSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL

16.数据库与 SQL困难

在多版本并发控制（MVCC）下，读取者如何避免阻塞写入者？

A读取者看到已提交行版本的一致快照，而写入者创建新版本
B只要有读取者在活动，就不允许写入
C读取者总是等到所有写入者都提交
D读取者直接读取未提交的数据

17.计算机网络中等

浏览器收到 HTTP 状态码 404。这是什么意思？

A服务器发生内部错误
B请求成功
C找不到所请求的资源
D客户端必须先登录

18.计算机网络困难

一个远程终端应用程序反应迟缓，因为小的按键数据包被延迟发送。通常是哪种 TCP 机制造成的？

ANagle 算法
B快速重传
C三次握手
D慢启动

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.128。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.128

H =

20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.48.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 61 主机, B: 13 主机, C: 10 主机, D: 6 主机, E: 18 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 D 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 61B: 13C: 10D: 6E: 18

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 188

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

68 = 0100 0100

取反后: 1011 1011

+1 → 1011 1100

按无符号数读取

1011 1100₂ = 256 − 68 = 188

答案

U = 188

2.数制

答案: R = 21

逐位计算

AND 只有在两位都为 1 时才得 1。

0111 1101

AND 1001 0111

= 0001 0101

结果的值

0001 0101₂ = 21

答案

R = 21

3.命题逻辑与证明

答案: 矛盾式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

a = 1, c = 1: a ↔ c = 1, ¬c = 0, a ↔ ¬c = 0, (a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c) = 0

a = 1, c = 0: a ↔ c = 0, ¬c = 1, a ↔ ¬c = 1, (a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c) = 0

a = 0, c = 1: a ↔ c = 0, ¬c = 0, a ↔ ¬c = 1, (a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c) = 0

a = 0, c = 0: a ↔ c = 1, ¬c = 1, a ↔ ¬c = 0, (a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c) = 0

分类

(a ↔ c) ∧ (a ↔ ¬c): 0, 0, 0, 0

每一行都是 0：矛盾式。

答案

矛盾式

4.命题逻辑与证明

答案: b → c

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

a = 1, b = 1, c = 1: c → b = 1, b ∧ c = 1, ¬b → ¬c = 1, b → c = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c → b = 0, b ∧ c = 0, ¬b → ¬c = 0, b → c = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c → b = 0, b ∧ c = 0, ¬b → ¬c = 0, b → c = 1

a = 0, b = 0, c = 0: c → b = 1, b ∧ c = 0, ¬b → ¬c = 1, b → c = 1

结论

b → c (假言三段论)

答案

b → c

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C + A′B + AB′C′

F = 1 的行

ABC = 001, 010, 011, 100

N = 4

答案

N = 4

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 7

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD′, B′D′, AC′D, AB′

最小覆盖

F = CD′ + B′D′ + AC′D

L = 7

答案

L = 7

7.数论与模运算

答案: x = 50

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 6 + 11k

第二个同余式

6 + 11k ≡ 11 (mod 13) → 11k ≡ 5 (mod 13)

k ≡ 6·5 ≡ 4 (mod 13)

结果

x = 6 + 11·4 = 50

x = 50

校核: 50 mod 11 = 6, 50 mod 13 = 11

答案

x = 50

8.数论与模运算

答案: 32¹²⁹ mod 65 = 57

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

129 = 10000001₂ = 128 + 1

反复平方

32¹ ≡ 32 (mod 65)

32² ≡ 49 (mod 65)

32⁴ ≡ 61 (mod 65)

32⁸ ≡ 16 (mod 65)

32¹⁶ ≡ 61 (mod 65)

D · 前缀和查询和单个元素更新

13.图论

答案: k = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

14 − 1 = 13

要去掉的边数

k = 24 − 13 = 11

答案

k = 11

14.图论

答案: B

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 3, C: 1

2. C (1)

3. B (3): D: 14, E: 10

4. E (10): D: 13, F: 11

5. F (11)

Nagle 算法在先前数据未被确认时等待，把小段捆绑在一起发送。这节省了带宽，但给交互式流量增加了延迟。

答案

A · Nagle 算法

19.IPv4 子网划分

答案: H = 126

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.255.128 = /25

可用主机数

2⁷ − 2 = 126

答案

H = 126

20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

A: 61 主机 → 2⁶ = 64 (/26)

E: 18 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

B: 13 主机 → 2⁴ = 16 (/28)

C: 10 主机 → 2⁴ = 16 (/28)

D: 6 主机 → 2³ = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

A: .0 – .63

E: .64 – .95

B: .96 – .111

C: .112 – .127

D: .128 – .135

答案

x = 128

局域网 D：192.168.48.128/29。

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