数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1111 0101 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1111 01018 bit
N =
2.数制困难
把各位设置为 1111 0110 OR 0100 1010 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1111 0110OR0100 1010
R =
3.命题逻辑与证明中等
你想用反证法来证明 (c ∧ a) → ¬b。一开始要假设哪个命题？点选它。
(c ∧ a) → ¬b
- 1¬(c ∧ a) ∧ ¬¬b
- 2¬(c ∧ a) ∧ ¬b
- 3¬(c ∧ a) → ¬¬b
- 4(c ∧ a) ∧ ¬¬b
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 p ∨ q; ¬p。由它们可以推出哪个结论？点选它。
p ∨ q¬p
- 1q
- 2p
- 3¬q
- 4p ∧ q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 7, 11, 13, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？
F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 7, 11, 13, 14)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 7, 10, 11) + d(4, 8, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 7, 10, 11) + d(4, 8, 15)
N =
7.数论与模运算中等
求欧拉函数 φ(1089)，即 1 到 1089 中与 1089 互素的整数个数。
n = 1089 = 32·112
φ(1089) =
8.数论与模运算困难
在 {0, 1, …, 37} 中，12x ≡ 6 (mod 38) 有多少个解 N？
12x ≡ 6 (mod 38)
N =
9.算法与复杂度中等
朴素递归斐波那契（fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)）的时间复杂度是：
- A对数级
- B指数级
- C常数
- D线性
10.算法与复杂度困难
对于哪种背包问题变体，贪心规则"按单位重量价值的顺序取物品"总能给出最优解？
- A分数背包问题，物品可以分割
- B两种变体都不可以
- C两种变体都可以
- D0/1 背包问题，物品必须整个拿取
11.数据结构中等
链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？
- A通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
- B防止链表增长超过固定的最大节点数
- C存储元素的个数
- D使链表有序
12.数据结构困难
在没有按秩合并和路径压缩的情况下，含 n 个元素的并查集结构中一次 find 操作的最坏代价是多少？
- AO(1)
- BO(log n)
- CO(n)
- DO(α(n))
13.图论中等
完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。
K6
H =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。
起点：A终点：E
d(E) =
15.数据库与 SQL中等
ROLLBACK TO SAVEPOINT s1 的作用是什么？
- A结束事务并提交所有内容
- B删除该保存点以及此后更改过的所有表
- C从头撤销整个事务
- D撤销保存点 s1 之后所做的更改，事务保持打开
16.数据库与 SQL困难
相关子查询（correlated subquery）是指：
- A只在外层查询之前运行一次，并将结果缓存供每一行使用
- B只使用聚合函数的子查询
- C通过外键连接两个表的子查询
- D引用外层查询的列，并针对外层的每一行进行求值的子查询
17.计算机网络中等
一个 /24 的 IPv4 网络有多少个可用主机地址？
- A255
- B252
- C256
- D254
18.计算机网络困难
一台服务器的私钥在一年后被盗。哪种 TLS 特性能保证今天被记录下来的会话仍然安全？
- A在加密前压缩数据
- B把证书发送两次
- C由临时 Diffie-Hellman 密钥交换提供的前向保密
- D使用更长的域名
19.IPv4 子网划分中等
网络 10.240.166.0/24 被划分为前缀为 /29 的等大子网。共有多少个子网 N？
10.240.166.0/24/29
N =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.113.116/26。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？
10.20.113.116/26
x =
3溶液
1.数制
答案: N = −11
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 1 = −11
答案
N = −11
2.数制
答案: R = 254
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
OR 在至少有一位为 1 时得 1。
1111 0110
OR 0100 1010
= 1111 1110
结果的值
1111 1110₂ = 254
答案
R = 254
3.命题逻辑与证明
答案: (c ∧ a) ∧ ¬¬b
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
蕴涵的各个部分
a = c ∧ a, b = ¬b
蕴涵的否定
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (c ∧ a) ∧ ¬¬b
答案
(c ∧ a) ∧ ¬¬b
如果假设导致矛盾，则该蕴涵必为真。
4.命题逻辑与证明
答案: q
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
p = 0, q = 1: q = 1, p = 0, ¬q = 0, p ∧ q = 0
结论
q (析取三段论)
答案
q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 6
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 0
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
(B + D)
(A + C′ + D)
(A′ + C + D)
(A′ + B + C)
(A + B′ + C + D′)
(A′ + B′ + C′ + D′)
最简 POS 形式
F = (B + D)(A + C′ + D)(A′ + C + D)(A′ + B + C)(A + B′ + C + D′)(A′ + B′ + C′ + D′)
N = 6
答案
N = 6
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 3
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′C′D′, BCD, A′C′D′, ACD, AB′D′, A′B′C′, AB′C
最小覆盖
F = BCD + A′B′C′ + AB′C
N = 3
答案
N = 3
7.数论与模运算
答案: φ(1089) = 660
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
素因数
1089 = 32·112
欧拉函数值
φ(1089) = φ(121)·φ(9) = 110·6 = 660
答案
φ(1089) = 660
8.数论与模运算
答案: N = 2
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
除以最大公约数
gcd(12, 38) = 2
6x ≡ 3 (mod 19)
解化简后的同余式
6−1 ≡ 16 (mod 19) → x ≡ 10 (mod 19)
模 38 下的解
x ∈ {10, 29}
N = 2
答案
N = 2
9.算法与复杂度
答案: B · 指数级
为什么是这个答案
调用树大约按 φⁿ（约 1.618ⁿ）增长。记忆化可将其降为 O(n)。
答案
B · 指数级
10.算法与复杂度
答案: A · 分数背包问题，物品可以分割
为什么是这个答案
物品可以分割时，先取比值最高的物品是最优的；在 0/1 背包中，一个比值高的物品可能挡住更好的组合，因此需要动态规划。
答案
A · 分数背包问题，物品可以分割
11.数据结构
答案: A · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
为什么是这个答案
有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。
答案
A · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
12.数据结构
答案: C · O(n)
为什么是这个答案
朴素的合并可能把树连成一条长链，因此 find 可能要沿着 n − 1 个父指针走；这两种启发式方法使其接近常数。
答案
C · O(n)
13.图论
答案: H = 60
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
计数
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
答案
H = 60
14.图论
答案: d(E) = 4
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): C: 3
C (3): B: 12, E: 4, G: 10
E (4): D: 5, F: 11, G: 5
D (5): F: 6
G (5): B: 6
B (6)
F (6)
最短路径
A → C → E
d(E) = 4
答案
d(E) = 4
15.数据库与 SQL
答案: D · 撤销保存点 s1 之后所做的更改，事务保持打开
为什么是这个答案
保存点标记事务内的一个位置；回滚到该点会取消之后的工作，而之前的更改在 COMMIT 之前仍处于待定状态。
答案
D · 撤销保存点 s1 之后所做的更改，事务保持打开
16.数据库与 SQL
答案: D · 引用外层查询的列，并针对外层的每一行进行求值的子查询
为什么是这个答案
相关子查询依赖于当前的外层行，因此在逻辑上按行求值（优化器可能会将其改写为连接）。
答案
D · 引用外层查询的列，并针对外层的每一行进行求值的子查询
17.计算机网络
答案: D · 254
为什么是这个答案
/24 有 8 个主机位，因此有 2⁸ = 256 个地址。网络地址和广播地址被保留，剩下 254 个给主机。
答案
D · 254
18.计算机网络
答案: C · 由临时 Diffie-Hellman 密钥交换提供的前向保密
为什么是这个答案
使用临时（EC）DHE 时，每个会话密钥都由用后即弃的临时值推导而来。长期密钥只用于对交换进行签名，因此日后被盗也无法解密旧的流量。
答案
C · 由临时 Diffie-Hellman 密钥交换提供的前向保密
19.IPv4 子网划分
答案: N = 32
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
29 − 24 = 5
子网数
N = 25 = 32
答案
N = 32
每个 /29 子网有 23 − 2 = 6 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: x = 64
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
26 = 64
该主机所在子网
网络: ⌊116/64⌋·64 = 64
广播: 64 + 64 − 1 = 127
可用主机: 65 … 126
答案
x = 64
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