计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −120 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −1208 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 4566 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

4566

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(r → q) 在逻辑上等价？点选它。

¬(r → q)

1¬r → ¬q
2¬r ∧ q
3r → ¬q
4r ∧ ¬q

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬(((p ∧ q) ∨ r) → ¬((p ∨ r) → s)) 为真？把这个数记作 N。

¬(((p ∧ q) ∨ r) → ¬((p ∨ r) → s))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(2, 7, 9, 11, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

7.数论与模运算中等

求 51 模 80 的逆元：满足 0 < x < 80 且 51·x ≡ 1 (mod 80) 的数 x。

a = 51n = 80

51⁻¹ mod 80 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 37，q = 41，e = 19。解密密文 c = 853：求消息 m。

p = 37q = 41e = 19c = 853

m =

9.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

A只使用递归
B在每一步都做出局部最优的选择
C尝试所有可能的解
D总能给出最优解

10.算法与复杂度困难

最短简单路径可以在多项式时间内求出。在一般图中求两个顶点之间的最长简单路径，已知情况如何？

A总能在 O(V + E) 内求解
B可以把权重取反后用 Dijkstra 算法求解
C它是 NP 难的
D它是不可判定的

11.数据结构中等

在使用开放寻址法的哈希表中，可能的最大负载因子是多少？

A0.5
B2
C没有最大值
D1

12.数据结构困难

伸展树（splay tree）在每次访问之后做什么？

A通过旋转把被访问的节点移到根
B把被访问的节点移到叶子
C把整棵树重建成平衡形式
D对查找路径上的节点重新着色

13.图论中等

一棵树有 2 个度为 4 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 4

L =

14.图论困难

普里姆算法从顶点 F 出发构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边。

起点：Fk = 4

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 CE
6边 DE
7边 DF
8边 EF
9边 BE

15.数据库与 SQL中等

第三范式（3NF）消除了：

A原子值
B建立在不属于任何键的列上的冗余索引
C复合键
D非键属性之间的传递依赖

16.数据库与 SQL困难

事务 T1 锁定了行 A 并等待行 B，而 T2 锁定了行 B 并等待行 A。典型的 DBMS 会怎么做？

A检测到死锁，并中止其中一个事务作为牺牲者
B把两个事务合并为一个
C让两个事务都等待，直到其中一个正常提交
D同时提交两个事务

17.计算机网络中等

哪种 DNS 记录类型把主机名映射到 IPv6 地址？

ACNAME
BMX
CA
DAAAA

18.计算机网络困难

在 TCP/IP 模型中，哪一层添加端口号？

A链路层
B传输层
C应用层
D网际层

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1813 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1813 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.52.14/22。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.52.14/22

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 136

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

120 = 0111 1000

取反后: 1000 0111

+1 → 1000 1000

按无符号数读取

1000 1000₂ = 256 − 120 = 136

答案

U = 136

2.数制

答案: b = 13 bit

2 的幂

2¹² = 4096 < 4566

2¹³ = 8192 ≥ 4566

答案

b = 13

3.命题逻辑与证明

答案: r ∧ ¬q

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b：这是蕴涵不成立的唯一一行。

¬(r → q) ≡ r ∧ ¬q

用真值表检验

q = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0

q = 1, r = 0: 0 | 0 1 1 0

q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1

q = 0, r = 0: 0 | 1 0 1 0

答案

r ∧ ¬q

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 5

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

p ∧ q; (p ∧ q) ∨ r; p ∨ r; (p ∨ r) → s; ¬((p ∨ r) → s); ((p ∧ q) ∨ r) → ¬((p ∨ r) → s); ¬(((p ∧ q) ∨ r) → ¬((p ∨ r) → s))

按 p 拆分

p = 1: 3

p = 0: 2

N = 3 + 2 = 5

答案

N = 5

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 00, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m2: m3, m0, m6, m10 → 0

孤立的 1

m2 = A′B′CD′ → AB = 00, CD = 10

答案

AB = 00, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 1, K = 1 → Q = 1

2: J = 0, K = 0 → Q = 1

3: J = 0, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 0 → Q = 0

5: J = 0, K = 0 → Q = 0

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

7: J = 1, K = 1 → Q = 1

8: J = 1, K = 1 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 1 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 4

答案

N = 4

7.数论与模运算

答案: 51⁻¹ mod 80 = 11

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·51 (mod 80)。

r = 80, t = 0

r = 51, q = 1, t = 1

r = 29, q = 1, t = −1

r = 22, q = 1, t = 2

r = 7, q = 3, t = −3

r = 1, q = 7, t = 11

逆矩阵

1 ≡ 11·51 (mod 80)

x = 11

校核: 51·11 = 561 = 7·80 + 1

答案

51⁻¹ mod 80 = 11

8.数论与模运算

答案: m = 1071

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 1517, φ(n) = 1440

d = 19⁻¹ mod 1440 = 379

用反复平方法解密

379 = 256 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1

853¹ ≡ 853 (mod 1517)

853² ≡ 966 (mod 1517)

853⁴ ≡ 201 (mod 1517)

853⁸ ≡ 959 (mod 1517)

853¹⁶ ≡ 379 (mod 1517)

853³² ≡ 1043 (mod 1517)

853⁶⁴ ≡ 160 (mod 1517)

853¹²⁸ ≡ 1328 (mod 1517)

853²⁵⁶ ≡ 830 (mod 1517)

853³⁷⁹ ≡ 853·966·959·379·1043·160·830 ≡ 1071 (mod 1517)

消息

m = 1071

树的握手引理

L + 8 = 2(L + 2) − 2

L = 6

答案

L = 6

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: 边 CE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. EF (4)

2. DE (1)

3. BD (2)

4. CE (9)

5. AB (12)

TCP 和 UDP 头部包含源端口和目的端口；网际层（IP）添加地址。

答案

B · 传输层

19.IPv4 子网划分

答案: p = 21

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1813

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1813 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 55

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: 172.20.52.0

广播: 172.20.55.255

答案

x = 55

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