计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −72。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −728 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 3033 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

3033

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r)

N =

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x (F(x) → G(x)) 等价？点选它。

¬∃x (F(x) → G(x))

1∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
2∀x (F(x) → ¬G(x))
3∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
4∀x (¬F(x) → ¬G(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C，I₂ = C，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = CI₂ = CI₃ = C

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 7, 10, 11) + d(4, 9, 14)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 7, 10, 11) + d(4, 9, 14)

N =

7.数论与模运算中等

解 8x ≡ 3 (mod 13)。给出满足 0 < x < 13 的解 x。

8x ≡ 3 (mod 13)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 13，q = 43，e = 5。解密密文 c = 380：求消息 m。

p = 13q = 43e = 5c = 380

m =

9.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

AO(n²)
BO(d(n + k))
CO(n log n)
DO(dn log k)

10.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

A给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
B不能在多项式时间内求解的问题
C任何算法都无法求解的问题
D非多项式的问题

11.数据结构中等

深度优先搜索（迭代版本）使用哪种数据结构？

A栈
B队列
C堆
D仅哈希表

12.数据结构困难

把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？

A[1, 5, 8, 3]
B[1, 3, 8, 5]
C[1, 3, 5, 8]
D[3, 1, 8, 5]

13.图论中等

一个连通图有 15 个顶点和 24 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 15|E| = 24

k =

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

employees 表有一列 manager_id，引用另一名员工。如何在每名员工旁边列出其经理的姓名？

A只使用 GROUP BY manager_id
B用两个别名把 employees 表与它自身连接
C在磁盘上创建该表的第二个副本
D使用 UNION ALL 和 WHERE 过滤把该表与自身合并

16.数据库与 SQL困难

要在深度未知的组织树中找出某位经理下属的所有员工，哪种 SQL 功能最合适？

A对 manager_id 进行 GROUP BY
B在 manager_id 上加 UNIQUE 约束
C基于 manager_id 对 employees 表做一次自连接
D递归公用表表达式（WITH RECURSIVE）

17.计算机网络中等

主机上的默认网关有什么作用？

A它是 DNS 服务器
B它负责分配 MAC 地址
C它是主机所连接的交换机端口
D它是用于发往其他网络的流量的路由器

18.计算机网络困难

一台 PC 能访问本子网中的打印机，但无法访问子网以外的任何地方。它的 IP 地址和掩码都正确。最可能的故障是什么？

ADNS 服务器设置有误
BTCP 窗口太小
C互联网上存在重复的 MAC 地址
D默认网关缺失或错误

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.192。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.192

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.244.86/26。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.244.86/26

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 184

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

72 = 0100 1000

取反后: 1011 0111

+1 → 1011 1000

按无符号数读取

1011 1000₂ = 256 − 72 = 184

答案

U = 184

2.数制

答案: b = 12 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

2¹¹ = 2048 < 3033

2¹² = 4096 ≥ 3033

答案

b = 12

3.命题逻辑与证明

答案: N = 6

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, p → ¬q = 0, p ↔ (p → ¬q) = 0, q → r = 1, (q → r) ∨ r = 1, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, p → ¬q = 0, p ↔ (p → ¬q) = 0, q → r = 0, (q → r) ∨ r = 0, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, p → ¬q = 1, p ↔ (p → ¬q) = 1, q → r = 1, (q → r) ∨ r = 1, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, p → ¬q = 1, p ↔ (p → ¬q) = 1, q → r = 1, (q → r) ∨ r = 1, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, p → ¬q = 1, p ↔ (p → ¬q) = 0, q → r = 1, (q → r) ∨ r = 1, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, p → ¬q = 1, p ↔ (p → ¬q) = 0, q → r = 0, (q → r) ∨ r = 0, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, p → ¬q = 1, p ↔ (p → ¬q) = 0, q → r = 1, (q → r) ∨ r = 1, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, p → ¬q = 1, p ↔ (p → ¬q) = 0, q → r = 1, (q → r) ∨ r = 1, (p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r) = 1

数出值为 1 的行数

(p ↔ (p → ¬q)) ∨ ((q → r) ∨ r): 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1

N = 6

答案

N = 6

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x (F(x) → G(x)) ≡ ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

答案

∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC + AB′C + ABC

F = 1 的行

ABC = 011, 101, 111

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

A′C′D′, ACD′, AB′D, AB′C, A′BCD

必要质蕴涵项

A′C′D′, A′BCD

N = 2

答案

N = 2

7.数论与模运算

答案: x = 2

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

8 的逆元

r = 13, t = 0

r = 8, q = 1, t = 1

r = 5, q = 1, t = −1

r = 3, q = 1, t = 2

r = 2, q = 1, t = −3

r = 1, q = 2, t = 5

8⁻¹ ≡ 5 (mod 13)

求解

x ≡ 5·3 = 15 ≡ 2 (mod 13)

校核: 8·2 = 16 ≡ 3 (mod 13)

答案

x = 2

8.数论与模运算

答案: m = 178

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 559, φ(n) = 504

d = 5⁻¹ mod 504 = 101

用反复平方法解密

101 = 64 + 32 + 4 + 1

380¹ ≡ 380 (mod 559)

380² ≡ 178 (mod 559)

380⁴ ≡ 380 (mod 559)

380⁸ ≡ 178 (mod 559)

380¹⁶ ≡ 380 (mod 559)

380³² ≡ 178 (mod 559)

380⁶⁴ ≡ 380 (mod 559)

380¹⁰¹ ≡ 380·380·178·380 ≡ 178 (mod 559)

消息

m = 178

生成树的边数

15 − 1 = 14

要去掉的边数

k = 24 − 14 = 10

答案

k = 10

14.图论

答案: d(F) = 20

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 2, C: 7

B (2): D: 7, G: 3

G (3): C: 5

C (5): E: 12

D (7): F: 20

E (12)

F (20)

最短路径

A → B → D → F

前缀长度

255.255.255.192 = /26

可用主机数

2⁶ − 2 = 62

答案

H = 62

20.IPv4 子网划分

答案: x = 127

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁶ = 64

该主机所在子网

网络: ⌊86/64⌋·64 = 64

广播: 64 + 64 − 1 = 127

可用主机: 65 … 126

答案

x = 127

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