计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1010 0011 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1010 00118 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1000 1101 << 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1000 1101<< 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q))

N =

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x P(x) 等价？点选它。

¬∀x P(x)

1∃x P(x)
2∀x P(x)
3∃x ¬P(x)
4∀x ¬P(x)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C′，I₁ = 0，I₂ = 0，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = C′I₁ = 0I₂ = 0I₃ = C′

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(7, 9, 11, 13) + d(3, 8, 12, 14, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(7, 9, 11, 13) + d(3, 8, 12, 14, 15)

L =

7.数论与模运算中等

解 59x ≡ 8 (mod 75)。给出满足 0 < x < 75 的解 x。

59x ≡ 8 (mod 75)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 5 和 q = 29，公钥指数 e = 3。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 5q = 29e = 3

d =

9.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

A长度为 2 的数组
B所有元素都不相同的数组
C已经有序的数组
D随机顺序的数组

10.算法与复杂度困难

一次加一操作可能翻转许多位，那么二进制计数器加一的均摊代价是多少？

A每次加一 O(n log n)
B每次加一 O(n)
C每次加一 O(1)
D每次加一 O(log n)

11.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

A堆中的元素从不超过 100 个
B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
C堆中所有的键都相等
D数组会自动使键保持有序，因此不需要指针

12.数据结构困难

一个动态数组在满时容量翻倍。为什么许多实现只在它只有四分之一满时才缩容，而不是一半满时？

A因为在一半满时减半会丢失元素
B为了使数组保持有序
C为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
D因为内存分配器只能以块的四分之一为单位释放内存

13.图论中等

完全图 K₈ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₈

H =

14.图论困难

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边；被跳过的边不计。

k = 2

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 CE
6边 DE
7边 DF
8边 EF
9边 GB
10边 GD

15.数据库与 SQL中等

GRANT SELECT ON employees TO alice 的作用是什么？

A允许用户 alice 读取 employees 表
B让 alice 成为数据库的所有者
C允许 alice 更新和删除 employees 表中的行
D把 employees 表复制给 alice

16.数据库与 SQL困难

对于一个查询，什么是覆盖索引？

A只建在主键上的索引
B包含查询所需全部列的索引，因此不必读取表本身
C每晚重建一次的索引
D覆盖每个表每一列的索引

17.计算机网络中等

IPv4 首部中的哪个字段能防止数据包在路由环路中无限循环？

A标识
B服务类型
C生存时间（TTL）
D首部校验和

18.计算机网络困难

根据奈奎斯特公式，使用 4 个信号电平的无噪声 3 kHz 信道的最大比特率是多少？

A6 kbit/s
B12 kbit/s
C24 kbit/s
D3 kbit/s

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1584 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1584 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.15.25/20。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.15.25/20

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −93

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 32 + 2 + 1 = −93

答案

N = −93

2.数制

答案: R = 26

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 1 位，把每一位向左移动 1 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1000 1101 << 1

= 0001 1010

结果的值

0001 1010₂ = 26

答案

R = 26

3.命题逻辑与证明

答案: N = 4

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, p ∧ q = 1, q ∨ (p ∧ q) = 1, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, p ∧ q = 1, q ∨ (p ∧ q) = 1, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, p ∧ q = 0, q ∨ (p ∧ q) = 0, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, p ∧ q = 0, q ∨ (p ∧ q) = 0, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: ¬p = 1, r ∧ ¬p = 1, p ∧ q = 0, q ∨ (p ∧ q) = 1, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬p = 1, r ∧ ¬p = 0, p ∧ q = 0, q ∨ (p ∧ q) = 1, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬p = 1, r ∧ ¬p = 1, p ∧ q = 0, q ∨ (p ∧ q) = 0, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬p = 1, r ∧ ¬p = 0, p ∧ q = 0, q ∨ (p ∧ q) = 0, (r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)) = 1

数出值为 1 的行数

(r ∧ ¬p) ↔ (q ∨ (p ∧ q)): 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1

N = 4

答案

N = 4

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ¬P(x)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

答案

∃x ¬P(x)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C′ + ABC′

F = 1 的行

ABC = 000, 110

N = 2

答案

N = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD, AD, AC′, AB

最小覆盖

F = CD + AD

L = 4

答案

L = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

7.数论与模运算

答案: x = 37

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

59 的逆元

r = 75, t = 0

r = 59, q = 1, t = 1

r = 16, q = 3, t = −1

r = 11, q = 1, t = 4

r = 5, q = 2, t = −5

r = 1, q = 5, t = 14

59⁻¹ ≡ 14 (mod 75)

求解

x ≡ 14·8 = 112 ≡ 37 (mod 75)

校核: 59·37 = 2183 ≡ 8 (mod 75)

答案

x = 37

8.数论与模运算

答案: d = 75

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 5·29 = 145

φ(n) = 4·28 = 112

扩展欧几里得算法

r = 112, t = 0

r = 3, q = 37, t = 1

r = 1, q = 3, t = −37

私钥指数

d = 75

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520

14.图论

答案: 边 CE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. DE (1)

2. CE (2)

3. EF (6)

4. GB (8)

5. AB (11)

6. GD (14)

2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12,000 bit/s。更多的电平能提高速率，但噪声限制了可以区分的电平数。

答案

B · 12 kbit/s

19.IPv4 子网划分

答案: p = 21

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1584

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1584 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 15

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: 172.20.0.0

广播: 172.20.15.255

答案

x = 15

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