计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −26。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −268 bit
U =
2.数制困难
2214 个编码，b = ? 位?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

某系统要为 2214 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

2214
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
¬b ∧ c¬b ∨ c¬b ∧ ¬c¬b ∨ ¬c

哪个公式与 ¬(b ∧ c) 在逻辑上等价？点选它。

¬(b ∧ c)
  1. 1¬b ∧ c
  2. 2¬b ∨ c
  3. 3¬b ∧ ¬c
  4. 4¬b ∨ ¬c
4.命题逻辑与证明困难
∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) 等价？点选它。

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))
  1. 1∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  2. 2∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))
  3. 3∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))
  4. 4∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000010302040517161120130150141809011010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(6, 7, 8, 12) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(6, 7, 8, 12)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKJK1234567

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0JK
  1. 1时钟边沿 1
  2. 2时钟边沿 2
  3. 3时钟边沿 3
  4. 4时钟边沿 4
  5. 5时钟边沿 5
  6. 6时钟边沿 6
  7. 7时钟边沿 7
7.数论与模运算中等

求 10 模 59 的逆元：满足 0 < x < 59 且 10·x ≡ 1 (mod 59) 的数 x。

a = 10n = 59
10−1 mod 59 =
8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 61} 中，4x ≡ 32 (mod 62) 有多少个解 N？

4x ≡ 32 (mod 62)
N =
9.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(dn log k)
10.算法与复杂度困难

对于哪种背包问题变体，贪心规则"按单位重量价值的顺序取物品"总能给出最优解？

  1. A两种变体都不可以
  2. B分数背包问题，物品可以分割
  3. C两种变体都可以
  4. D0/1 背包问题，物品必须整个拿取
11.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A没有节点拥有两个子节点
  2. B键按插入顺序存储
  3. C通过再平衡使高度为 O(log n)
  4. D在任何情况下查找都是常数时间
12.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度至多为 n / 2
  2. B高度至多为 log2 n + 1
  3. C高度至多为 2 log2(n + 1)
  4. D高度恰好为 log2 n
13.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
14.图论困难
1719812161110ABCDE

普里姆算法从顶点 E 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Ek = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE
15.数据库与 SQL中等

哪个查询返回每个客户的订单数量？

  1. ASELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders
  2. BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
  3. CSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
  4. DSELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
16.数据库与 SQL困难

在 (last_name, first_name) 上有一个复合索引。哪个条件能最有效地利用它？

  1. AWHERE first_name LIKE '%a'
  2. BWHERE last_name = 'Jansen'
  3. CWHERE first_name = 'Eva'
  4. DWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
17.计算机网络中等

哪个子网掩码对应 /20？

  1. A255.255.224.0
  2. B255.255.248.0
  3. C255.255.255.240
  4. D255.255.240.0
18.计算机网络困难

与 IPv4 相比，IPv6 的分片有何不同？

  1. AIPv6 路由器在转发之前对路径上每个大于 64 字节的数据包进行分片
  2. BIPv6 不允许大于 576 字节的数据包
  3. C路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现
  4. DIPv6 在传输层的 TCP 内部分片
19.IPv4 子网划分中等
/?11111111111111111111110000000000网络位主机位

某部门在一个子网内需要 961 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

961 hosts
p =
20.IPv4 子网划分困难
最后一个八位组 = 132112806403201608140201网络主机

某主机地址为 10.20.226.132/26。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.226.132/26
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 230

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

26 = 0001 1010
取反后: 1110 0101
+1 → 1110 0110

按无符号数读取

1110 0110₂ = 256 − 26 = 230

答案

U = 230
2.数制

答案: b = 12 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

211 = 2048 < 2214
212 = 4096 ≥ 2214

答案

b = 12
3.命题逻辑与证明

答案: ¬b ∨ ¬c

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。
¬(b ∧ c) ≡ ¬b ∨ ¬c

用真值表检验

b = 1, c = 1: 0 | 0 1 0 0
b = 1, c = 0: 1 | 0 0 0 1
b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
b = 0, c = 0: 1 | 0 1 1 1

答案

¬b ∨ ¬c

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答案

∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000010302040517161120130150141809011010

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C + D′)
(B + C′)
(A + C)
(A′ + C′)

最简 POS 形式

F = (C + D′)(B + C′)(A + C)(A′ + C′)
N = 4

答案

N = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 1, K = 0 → Q = 1
2: J = 1, K = 0 → Q = 1
3: J = 0, K = 1 → Q = 0
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 0, K = 1 → Q = 0
6: J = 0, K = 1 → Q = 0
7: J = 0, K = 1 → Q = 0

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 3

答案

时钟边沿 3
7.数论与模运算

答案: 10−1 mod 59 = 6

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·10 (mod 59)。

r = 59, t = 0
r = 10, q = 5, t = 1
r = 9, q = 1, t = −5
r = 1, q = 9, t = 6

逆矩阵

1 ≡ 6·10 (mod 59)
x = 6
校核: 10·6 = 60 = 1·59 + 1

答案

10−1 mod 59 = 6
8.数论与模运算

答案: N = 2

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

除以最大公约数

gcd(4, 62) = 2
2x ≡ 16 (mod 31)

解化简后的同余式

2−1 ≡ 16 (mod 31) → x ≡ 8 (mod 31)

模 62 下的解

x ∈ {8, 39}
N = 2

答案

N = 2
9.算法与复杂度

答案: B · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

B · O(d(n + k))
10.算法与复杂度

答案: B · 分数背包问题，物品可以分割

为什么是这个答案

物品可以分割时，先取比值最高的物品是最优的；在 0/1 背包中，一个比值高的物品可能挡住更好的组合，因此需要动态规划。

答案

B · 分数背包问题，物品可以分割
11.数据结构

答案: C · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

C · 通过再平衡使高度为 O(log n)
12.数据结构

答案: C · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

C · 高度至多为 2 log2(n + 1)
13.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇度顶点

B, E → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: 边 DE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. BE (10)
2. BC (8)
3. DE (11)
4. AB (17)

边的序号 3

DE

答案

边 DE
15.数据库与 SQL

答案: C · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id

为什么是这个答案

GROUP BY customer_id 为每个客户生成一个分组，COUNT(*) 统计每个分组中的行数。

答案

C · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
16.数据库与 SQL

答案: B · WHERE last_name = 'Jansen'

为什么是这个答案

复合 B 树索引先按 last_name、再按 first_name 排序，因此在前导列上的查找可以利用它，但仅凭 first_name 无法利用这种顺序。

答案

B · WHERE last_name = 'Jansen'
17.计算机网络

答案: D · 255.255.240.0

为什么是这个答案

/20 表示 8 + 8 + 4 个 1。第三个八位组中的四个 1 是 11110000 = 240，所以掩码为 255.255.240.0。

答案

D · 255.255.240.0
18.计算机网络

答案: C · 路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现

为什么是这个答案

IPv6 路由器会丢弃过大的数据包并返回 ICMPv6 Packet Too Big 消息。源端随后发送更小的数据包，或使用分片扩展首部。

答案

C · 路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现
19.IPv4 子网划分

答案: p = 22

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

29 − 2 = 510 < 961
210 − 2 = 1022 ≥ 961 → h = 10

前缀长度

p = 32 − 10 = 22

答案

p = /22
20.IPv4 子网划分

答案: x = 191

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

26 = 64

该主机所在子网

网络: ⌊132/64⌋·64 = 128
广播: 128 + 64 − 1 = 191
可用主机: 129 … 190

答案

x = 191

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