数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1101 0101 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1101 01018 bit
N =
2.数制困难
某系统要为 1086 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
1086
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
你想用逆否证明来证明 (q ∧ r) → ¬p。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。
(q ∧ r) → ¬p
- 1¬(q ∧ r) → ¬¬p
- 2¬¬p → ¬(q ∧ r)
- 3(q ∧ r) ∧ ¬¬p
- 4¬p → (q ∧ r)
4.命题逻辑与证明困难
把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。
¬∀x ∃y R(x, y)
- 1∀x ∀y ¬R(x, y)
- 2∀x ∃y ¬R(x, y)
- 3∃y ∀x ¬R(x, y)
- 4∃x ∀y ¬R(x, y)
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。
F = Σm(2, 3, 7, 11, 14)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？
Q₀ = 0D
N =
7.数论与模运算中等
求 3 模 41 的逆元：满足 0 < x < 41 且 3·x ≡ 1 (mod 41) 的数 x。
a = 3n = 41
3−1 mod 41 =
8.数论与模运算困难
用 RSA 公钥 (n, e) = (1517, 19) 加密消息 m = 1347。求密文 c。
n = 1517e = 19m = 1347
c =
9.算法与复杂度中等
一个问题具有最优子结构是什么意思？
- A每个子问题的规模都相同
- B最优解可以由其子问题的最优解构造出来
- C该问题恰好有一个最优解，所有子问题共享这个解
- D该问题可以在常数时间内求解
10.算法与复杂度困难
下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？
- A3-SAT，每个子句恰好有三个文字
- B2-SAT，每个子句至多有两个文字
- C合取范式公式上的一般 SAT
- D电路可满足性问题
11.数据结构中等
为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？
- A堆中所有的键都相等
- B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
- C堆中的元素从不超过 100 个
- D数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
12.数据结构困难
关于堆排序，下列哪个说法是正确的？
- A它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
- B它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存
- C它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
- D它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 6|E| = 6
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
求带权图的最小生成树的总权重 W。
|V| = 7|E| = 10
W =
15.数据库与 SQL中等
在关系代数中，选择运算符（σ）对应于哪个 SQL 子句？
- ASELECT 列表
- BORDER BY
- CWHERE
- DGROUP BY
16.数据库与 SQL困难
把 R 分解为 R1 和 R2 在什么情况下保证是无损的？
- AR1 和 R2 没有公共属性时
- BR1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时
- CR1 和 R2 的列数相同时
- DR 的每个属性都同时出现在 R1 和 R2 中时
17.计算机网络中等
TCP 三次握手的目的是什么？
- A加密数据
- B在向某台主机发送数据之前先查找其 IP 地址
- C快速关闭连接
- D建立连接并同步序列号
18.计算机网络困难
在滑动窗口协议中，丢失一个帧后，回退 N 帧（Go-Back-N）与选择重传（Selective Repeat）有何不同？
- A回退 N 帧只重发丢失的帧；选择重传重发该帧及其后的所有帧
- B回退 N 帧重发丢失的帧及其后的所有帧；选择重传只重发丢失的帧
- C两者都从不重发丢失的帧
- D两者都从头重发整个窗口
19.IPv4 子网划分中等
网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 6 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？
192.168.10.0/246 subnets
H =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.72.147/29。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？
10.20.72.147/29
x =
3溶液
1.数制
答案: N = −43
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 64 + 16 + 4 + 1 = −43
答案
N = −43
2.数制
答案: b = 11 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
210 = 1024 < 1086
211 = 2048 ≥ 1086
答案
b = 11
3.命题逻辑与证明
答案: ¬¬p → ¬(q ∧ r)
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
蕴涵的各个部分
a = q ∧ r, b = ¬p
逆否命题
¬b → ¬a = ¬¬p → ¬(q ∧ r)
答案
¬¬p → ¬(q ∧ r)
逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。
4.命题逻辑与证明
答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
把否定移到内部
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
答案
∃x ∀y ¬R(x, y)
其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: AB = 11, CD = 10
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
每个 1 的邻格
有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。
m14: m15, m12, m10, m6 → 0
孤立的 1
m14 = ABCD′ → AB = 11, CD = 10
答案
AB = 11, CD = 10
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 5
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的 Q
D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。
1: D = 1 → Q = 1
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 0 → Q = 0
7: D = 0 → Q = 0
8: D = 1 → Q = 1
数出变化的次数
0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0 → 0 → 0 → 1
N = 5
答案
N = 5
7.数论与模运算
答案: 3−1 mod 41 = 14
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·3 (mod 41)。
r = 41, t = 0
r = 3, q = 13, t = 1
r = 2, q = 1, t = −13
r = 1, q = 2, t = 14
逆矩阵
1 ≡ 14·3 (mod 41)
x = 14
校核: 3·14 = 42 = 1·41 + 1
答案
3−1 mod 41 = 14
8.数论与模运算
答案: c = 540
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
反复平方
19 = 16 + 2 + 1
13471 ≡ 1347 (mod 1517)
13472 ≡ 77 (mod 1517)
13474 ≡ 1378 (mod 1517)
13478 ≡ 1117 (mod 1517)
134716 ≡ 715 (mod 1517)
134719 ≡ 1347·77·715 ≡ 540 (mod 1517)
密文
c = 540
答案
c = 540
9.算法与复杂度
答案: B · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来
为什么是这个答案
贪心算法和动态规划要得出正确答案，都需要问题具有最优子结构。
答案
B · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来
10.算法与复杂度
答案: B · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
为什么是这个答案
2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。
答案
B · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
11.数据结构
答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
为什么是这个答案
完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。
答案
B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
12.数据结构
答案: C · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
为什么是这个答案
堆排序先建立最大堆，然后在同一个数组内提取最大值 n 次；远距离的交换可能打乱相等键的顺序。
答案
C · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
13.图论
答案: 有欧拉通路，无回路
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2
奇度顶点
D, E → 2
有欧拉通路，无回路
答案
有欧拉通路，无回路
欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。
14.图论
答案: W = 40
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
克鲁斯卡尔算法
GB (1): 取
BD (2): 取
BC (5): 取
DE (6): 取
GE (7): 跳过，会形成圈
GD (9): 跳过，会形成圈
AB (10): 取
AC (13): 跳过，会形成圈
GC (15): 跳过，会形成圈
EF (16): 取
总权重
W = 1 + 2 + 5 + 6 + 10 + 16 = 40
答案
W = 40
15.数据库与 SQL
答案: C · WHERE
为什么是这个答案
σcondition(R) 返回 R 中满足条件的元组，就像 WHERE 子句一样。
答案
C · WHERE
16.数据库与 SQL
答案: B · R1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时
为什么是这个答案
如果共享属性决定了 R1 或 R2 的所有属性，把它们连接回来就恰好得到原来的行，不会产生多余的元组。
答案
B · R1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时
17.计算机网络
答案: D · 建立连接并同步序列号
为什么是这个答案
在发送数据之前，握手过程建立连接，并让双方商定初始序列号。
答案
D · 建立连接并同步序列号
18.计算机网络
答案: B · 回退 N 帧重发丢失的帧及其后的所有帧；选择重传只重发丢失的帧
为什么是这个答案
回退 N 帧的接收方丢弃乱序帧，因此发送方必须重发丢失点之后的所有帧。选择重传会缓存乱序帧，只请求丢失的那一帧。
答案
B · 回退 N 帧重发丢失的帧及其后的所有帧；选择重传只重发丢失的帧
19.IPv4 子网划分
答案: H = 30
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
借用的位数
23 = 8 ≥ 6 → b = 3, /27
每个子网的主机数
25 − 2 = 30
答案
H = 30
20.IPv4 子网划分
答案: x = 144
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
23 = 8
该主机所在子网
网络: ⌊147/8⌋·8 = 144
广播: 144 + 8 − 1 = 151
可用主机: 145 … 150
答案
x = 144
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