计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码?−128?64?32?16?8?4?2?1

把 −75 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −758 bit
U =
2.数制困难
点击各位来设置012806403201608040201

把各位设置为 0101 0010 << 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0101 0010<< 1
R =
3.命题逻辑与证明中等
¬¬a → ¬¬c¬a → ¬c¬c ∧ ¬¬a¬¬c → ¬¬a

你想用逆否证明来证明 ¬c → ¬a。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

¬c → ¬a
  1. 1¬¬a → ¬¬c
  2. 2¬a → ¬c
  3. 3¬c ∧ ¬¬a
  4. 4¬¬c → ¬¬a
4.命题逻辑与证明困难
∃x ∃y ¬R(x, y)∀x ∃y ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)∀x ∀y ¬R(x, y)

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x ∀y R(x, y) 等价？点选它。

¬∃x ∀y R(x, y)
  1. 1∃x ∃y ¬R(x, y)
  2. 2∀x ∃y ¬R(x, y)
  3. 3∃x ∀y ¬R(x, y)
  4. 4∀x ∀y ¬R(x, y)
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011001031204051716

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 6, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 6, 7)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKD1234567

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，在 7 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0D
N =
7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(605)，即 1 到 605 中与 605 互素的整数个数。

n = 605 = 5·112
φ(605) =
8.数论与模运算困难

用反复平方法求 4138 mod 33。

a = 4k = 138n = 33
4138 mod 33 =
9.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
10.算法与复杂度困难

关于 little-o 记号，下列哪个说法是正确的？

  1. An = o(n)，因为每个函数都是自身的 little-o
  2. Bn = o(n²)，但 n 不是 o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n)，因为 2n 增长得慢
11.数据结构中等

在从下标 0 开始存储于数组中的二叉堆里，下标为 i 的节点的父节点在哪里？

  1. A下标 2i + 1
  2. B下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. C下标 ⌊i / 2⌋ + 1
  4. D下标 i − 1
12.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A哈希值必须是素数
  2. B不同的键必须具有不同的哈希值
  3. C哈希值相等意味着键相等
  4. D相等的键必须具有相等的哈希值
13.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
14.图论困难
4615126313510ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等

为什么要在列上创建索引？

  1. A为了加快这些列上的查找和连接
  2. B为了节省磁盘空间
  3. C为了防止出现 NULL 值
  4. D为了加快这些列上的插入和更新
16.数据库与 SQL困难

对于两个没有可用索引的大表之间的等值连接，优化器通常选择哪种连接算法？

  1. A主键上的位图连接
  2. B哈希连接
  3. C交叉连接
  4. D带索引查找的嵌套循环连接
17.计算机网络中等

“ping”命令使用哪种协议？

  1. AUDP
  2. BICMP
  3. CHTTP
  4. DTCP
18.计算机网络困难

HTTP/1.1 中持久连接（keep-alive）的主要好处是什么？

  1. A多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
  2. B连接无需 TLS 也能保持加密
  3. C响应可以在一个流上以任意顺序到达，因此慢的回复不会阻塞其他回复
  4. D服务器可以通过 UDP 推送更新
19.IPv4 子网划分中等
/24 → /2811111111111111111111111111110000网络位主机位

网络 192.168.90.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 7 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.90.0/24/28子网 7 (子网 1 从 .0 开始)
x =
20.IPv4 子网划分困难
最后一个八位组 = 132112806403201608140201网络主机

某主机地址为 10.20.191.132/29。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.191.132/29
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 181

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

75 = 0100 1011
取反后: 1011 0100
+1 → 1011 0101

按无符号数读取

1011 0101₂ = 256 − 75 = 181

答案

U = 181
2.数制

答案: R = 164

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 1 位，把每一位向左移动 1 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

0101 0010 << 1
= 1010 0100

结果的值

1010 0100₂ = 164

答案

R = 164
3.命题逻辑与证明

答案: ¬¬a → ¬¬c

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = ¬c, b = ¬a

逆否命题

¬b → ¬a = ¬¬a → ¬¬c

答案

¬¬a → ¬¬c

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答案

∀x ∃y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011001031204051716

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′C′
AB

最简 SOP 形式

F = A′C′ + AB
N = 2

答案

N = 2
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 0 → Q = 0
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 1 → Q = 1
6: D = 1 → Q = 1
7: D = 0 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 0
N = 2

答案

N = 2
7.数论与模运算

答案: φ(605) = 440

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

605 = 5·112

欧拉函数值

φ(605) = φ(121)·φ(5) = 110·4 = 440

答案

φ(605) = 440
8.数论与模运算

答案: 4138 mod 33 = 31

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

138 = 100010102 = 128 + 8 + 2

反复平方

41 ≡ 4 (mod 33)
42 ≡ 16 (mod 33)
44 ≡ 25 (mod 33)
48 ≡ 31 (mod 33)
416 ≡ 4 (mod 33)
432 ≡ 16 (mod 33)
464 ≡ 25 (mod 33)
4128 ≡ 31 (mod 33)

把需要的幂相乘

4138 ≡ 16·31·31 ≡ 31 (mod 33)

答案

4138 mod 33 = 31
9.算法与复杂度

答案: A · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

A · O(n²)
10.算法与复杂度

答案: B · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)

为什么是这个答案

f = o(g) 表示 f(n) / g(n) 趋于 0；n / n² 趋于 0，而 n / n = 1 则不然。

答案

B · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)
11.数据结构

答案: B · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋

为什么是这个答案

i 的子节点位于 2i + 1 和 2i + 2，因此 i 的父节点位于 ⌊(i − 1) / 2⌋；若下标从 1 开始，则为 ⌊i / 2⌋。

答案

B · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
12.数据结构

答案: D · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

D · 相等的键必须具有相等的哈希值
13.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
14.图论

答案: d(F) = 18

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4
B (4): C: 10, D: 19, G: 7
G (7): D: 12, E: 17
C (10): E: 11
E (11)
D (12): F: 18
F (18)

最短路径

A → B → G → D → F
d(F) = 18

答案

d(F) = 18
15.数据库与 SQL

答案: A · 为了加快这些列上的查找和连接

为什么是这个答案

索引（通常是 B-tree）可以加快查找，但会占用空间，并会减慢需要维护索引的插入和更新操作。

答案

A · 为了加快这些列上的查找和连接
16.数据库与 SQL

答案: B · 哈希连接

为什么是这个答案

哈希连接在一个输入上构建哈希表，再用另一个输入进行探测，非常适合没有索引的大型等值连接。

答案

B · 哈希连接
17.计算机网络

答案: B · ICMP

为什么是这个答案

Ping 发送 ICMP 回显请求（echo request），并测量回显应答（echo reply）返回所需的时间。

答案

B · ICMP
18.计算机网络

答案: A · 多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手

为什么是这个答案

复用连接避免了为每个对象进行新的握手和慢启动，因此包含许多资源的页面加载得更快。

答案

A · 多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
19.IPv4 子网划分

答案: x = 96

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

24 = 16

第 7 个子网

网络: (7 − 1)·16 = 96
广播: 96 + 16 − 1 = 111

答案

x = 96
20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

23 = 8

该主机所在子网

网络: ⌊132/8⌋·8 = 128
广播: 128 + 8 − 1 = 135
可用主机: 129 … 134

答案

x = 128

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